Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90202 / 57638
↖ ↑ ↗
← N 21.192094°
E 67.747193°		 ← 284.71 m → N 21.192094°
E 67.749939°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.189534°
E 67.747193°		 ← 284.72 m →
81 064 m²		 N 21.189534°
E 67.749939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688190460205078 y=0.439746856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688190460205078 × 217)
    floor (0.688190460205078 × 131072)
    floor (90202.5)     		tx = 90202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439746856689453 × 217)
    floor (0.439746856689453 × 131072)
    floor (57638.5)     		ty = 57638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90202 / 57638 ti = "17/90202/57638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90202/57638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90202 ÷ 217
    90202 ÷ 131072     		x = 0.688186645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57638 ÷ 217
    57638 ÷ 131072     		y = 0.439743041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688186645507812 × 2 - 1) × π
    0.376373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18241157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439743041992188 × 2 - 1) × π
    0.120513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.378605633199203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18241157} λ = 1.18241157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378605633199203))-π/2
    2×atan(1.46024704921874)-π/2
    2×0.97033407546661-π/2
    1.94066815093322-1.57079632675     		φ = 0.36987182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18241157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.747193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36987182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.192094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90202 KachelY 57638 1.18241157 0.36987182 67.747193 21.192094
    Oben rechts KachelX + 1 90203 KachelY 57638 1.18245950 0.36987182 67.749939 21.192094
    Unten links KachelX 90202 KachelY + 1 57639 1.18241157 0.36982713 67.747193 21.189534
    Unten rechts KachelX + 1 90203 KachelY + 1 57639 1.18245950 0.36982713 67.749939 21.189534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36987182-0.36982713) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dl = 284.719990000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36987182-0.36982713) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dr = 284.719990000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18241157-1.18245950) × cos(0.36987182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932373689812855 × 6371000     		do = 284.711522640018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18241157-1.18245950) × cos(0.36982713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932389844134594 × 6371000     		du = 284.716455556498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36987182)-sin(0.36982713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932373689812855-0.932389844134594)×R²
    abs(1.18245950-1.18241157)×1.61543217392923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61543217392923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61543217392923e-05×40589641000000     		ar = 81063.76414245m²