Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90201 / 57629
↖ ↑ ↗
← N 21.215140°
E 67.744446°		 ← 284.73 m → N 21.215140°
E 67.747193°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.212580°
E 67.744446°		 ← 284.73 m →
81 068 m²		 N 21.212580°
E 67.747193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688182830810547 y=0.439678192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688182830810547 × 217)
    floor (0.688182830810547 × 131072)
    floor (90201.5)     		tx = 90201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439678192138672 × 217)
    floor (0.439678192138672 × 131072)
    floor (57629.5)     		ty = 57629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90201 / 57629 ti = "17/90201/57629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90201/57629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90201 ÷ 217
    90201 ÷ 131072     		x = 0.688179016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57629 ÷ 217
    57629 ÷ 131072     		y = 0.439674377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688179016113281 × 2 - 1) × π
    0.376358032226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.18236363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439674377441406 × 2 - 1) × π
    0.120651245117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.379037065295784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18236363} λ = 1.18236363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379037065295784))-π/2
    2×atan(1.46087718258482)-π/2
    2×0.970535187745522-π/2
    1.94107037549104-1.57079632675     		φ = 0.37027405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18236363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.744446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37027405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.215140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90201 KachelY 57629 1.18236363 0.37027405 67.744446 21.215140
    Oben rechts KachelX + 1 90202 KachelY 57629 1.18241157 0.37027405 67.747193 21.215140
    Unten links KachelX 90201 KachelY + 1 57630 1.18236363 0.37022936 67.744446 21.212580
    Unten rechts KachelX + 1 90202 KachelY + 1 57630 1.18241157 0.37022936 67.747193 21.212580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37027405-0.37022936) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dl = 284.719990000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37027405-0.37022936) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dr = 284.719990000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18236363-1.18241157) × cos(0.37027405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932228209887667 × 6371000     		do = 284.726490853629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18236363-1.18241157) × cos(0.37022936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932244380968276 × 6371000     		du = 284.731429917891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37027405)-sin(0.37022936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932228209887667-0.932244380968276)×R²
    abs(1.18241157-1.18236363)×1.61710806083626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61710806083626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61710806083626e-05×40589641000000     		ar = 81068.0267672075m²