Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90196 / 57617
↖ ↑ ↗
← N 21.245862°
E 67.730713°		 ← 284.67 m → N 21.245862°
E 67.733459°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 21.243302°
E 67.730713°		 ← 284.67 m →
81 033 m²		 N 21.243302°
E 67.733459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688144683837891 y=0.439586639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688144683837891 × 217)
    floor (0.688144683837891 × 131072)
    floor (90196.5)     		tx = 90196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439586639404297 × 217)
    floor (0.439586639404297 × 131072)
    floor (57617.5)     		ty = 57617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90196 / 57617 ti = "17/90196/57617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90196/57617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90196 ÷ 217
    90196 ÷ 131072     		x = 0.688140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57617 ÷ 217
    57617 ÷ 131072     		y = 0.439582824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688140869140625 × 2 - 1) × π
    0.37628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18212394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439582824707031 × 2 - 1) × π
    0.120834350585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.379612308091225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18212394} λ = 1.18212394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379612308091225))-π/2
    2×atan(1.46171778341073)-π/2
    2×0.970803288608137-π/2
    1.94160657721627-1.57079632675     		φ = 0.37081025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18212394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.730713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37081025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.245862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90196 KachelY 57617 1.18212394 0.37081025 67.730713 21.245862
    Oben rechts KachelX + 1 90197 KachelY 57617 1.18217188 0.37081025 67.733459 21.245862
    Unten links KachelX 90196 KachelY + 1 57618 1.18212394 0.37076557 67.730713 21.243302
    Unten rechts KachelX + 1 90197 KachelY + 1 57618 1.18217188 0.37076557 67.733459 21.243302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37081025-0.37076557) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dl = 284.656280000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37081025-0.37076557) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dr = 284.656280000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18212394-1.18217188) × cos(0.37081025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93203404069555 × 6371000     		do = 284.667186584442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18212394-1.18217188) × cos(0.37076557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932050230489513 × 6371000     		du = 284.672131364243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37081025)-sin(0.37076557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93203404069555-0.932050230489513)×R²
    abs(1.18217188-1.18212394)×1.61897939632283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61897939632283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61897939632283e-05×40589641000000     		ar = 81033.0061661107m²