Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90189 / 57654
↖ ↑ ↗
← N 21.151115°
E 67.711487°		 ← 284.79 m → N 21.151115°
E 67.714233°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.148554°
E 67.711487°		 ← 284.80 m →
81 104 m²		 N 21.148554°
E 67.714233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688091278076172 y=0.439868927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688091278076172 × 217)
    floor (0.688091278076172 × 131072)
    floor (90189.5)     		tx = 90189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439868927001953 × 217)
    floor (0.439868927001953 × 131072)
    floor (57654.5)     		ty = 57654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90189 / 57654 ti = "17/90189/57654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90189/57654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90189 ÷ 217
    90189 ÷ 131072     		x = 0.688087463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57654 ÷ 217
    57654 ÷ 131072     		y = 0.439865112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688087463378906 × 2 - 1) × π
    0.376174926757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.18178839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439865112304688 × 2 - 1) × π
    0.120269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.377838642805283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18178839} λ = 1.18178839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377838642805283))-π/2
    2×atan(1.45912748316233)-π/2
    2×0.969976465091917-π/2
    1.93995293018383-1.57079632675     		φ = 0.36915660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18178839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.711487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36915660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.151115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90189 KachelY 57654 1.18178839 0.36915660 67.711487 21.151115
    Oben rechts KachelX + 1 90190 KachelY 57654 1.18183632 0.36915660 67.714233 21.151115
    Unten links KachelX 90189 KachelY + 1 57655 1.18178839 0.36911190 67.711487 21.148554
    Unten rechts KachelX + 1 90190 KachelY + 1 57655 1.18183632 0.36911190 67.714233 21.148554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36915660-0.36911190) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36915660-0.36911190) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18178839-1.18183632) × cos(0.36915660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932632000432013 × 6371000     		do = 284.790400895055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18178839-1.18183632) × cos(0.36911190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932648128555608 × 6371000     		du = 284.795325811616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36915660)-sin(0.36911190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932632000432013-0.932648128555608)×R²
    abs(1.18183632-1.18178839)×1.61281235950828e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61281235950828e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61281235950828e-05×40589641000000     		ar = 81104.3653728337m²