Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90189 / 57636
↖ ↑ ↗
← N 21.197216°
E 67.711487°		 ← 284.70 m → N 21.197216°
E 67.714233°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.194655°
E 67.711487°		 ← 284.71 m →
81 061 m²		 N 21.194655°
E 67.714233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688091278076172 y=0.439731597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688091278076172 × 217)
    floor (0.688091278076172 × 131072)
    floor (90189.5)     		tx = 90189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439731597900391 × 217)
    floor (0.439731597900391 × 131072)
    floor (57636.5)     		ty = 57636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90189 / 57636 ti = "17/90189/57636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90189/57636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90189 ÷ 217
    90189 ÷ 131072     		x = 0.688087463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57636 ÷ 217
    57636 ÷ 131072     		y = 0.439727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688087463378906 × 2 - 1) × π
    0.376174926757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.18178839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439727783203125 × 2 - 1) × π
    0.12054443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.378701506998444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18178839} λ = 1.18178839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378701506998444))-π/2
    2×atan(1.46038705536253)-π/2
    2×0.970378769795944-π/2
    1.94075753959189-1.57079632675     		φ = 0.36996121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18178839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.711487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36996121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.197216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90189 KachelY 57636 1.18178839 0.36996121 67.711487 21.197216
    Oben rechts KachelX + 1 90190 KachelY 57636 1.18183632 0.36996121 67.714233 21.197216
    Unten links KachelX 90189 KachelY + 1 57637 1.18178839 0.36991652 67.711487 21.194655
    Unten rechts KachelX + 1 90190 KachelY + 1 57637 1.18183632 0.36991652 67.714233 21.194655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36996121-0.36991652) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dl = 284.719989999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36996121-0.36991652) × R
    4.46899999999584e-05 × 6371000     		dr = 284.719989999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18178839-1.18183632) × cos(0.36996121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932341371967217 × 6371000     		do = 284.701653997069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18178839-1.18183632) × cos(0.36991652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932357530013607 × 6371000     		du = 284.706588050915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36996121)-sin(0.36991652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932341371967217-0.932357530013607)×R²
    abs(1.18183632-1.18178839)×1.61580463897693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61580463897693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61580463897693e-05×40589641000000     		ar = 81060.9545042971m²