Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90188 / 57923
↖ ↑ ↗
← N 20.460470°
E 67.708740°		 ← 286.16 m → N 20.460470°
E 67.711487°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.457896°
E 67.708740°		 ← 286.16 m →
81 877 m²		 N 20.457896°
E 67.711487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688083648681641 y=0.441921234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688083648681641 × 217)
    floor (0.688083648681641 × 131072)
    floor (90188.5)     		tx = 90188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441921234130859 × 217)
    floor (0.441921234130859 × 131072)
    floor (57923.5)     		ty = 57923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90188 / 57923 ti = "17/90188/57923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90188/57923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90188 ÷ 217
    90188 ÷ 131072     		x = 0.688079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57923 ÷ 217
    57923 ÷ 131072     		y = 0.441917419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688079833984375 × 2 - 1) × π
    0.37615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18174045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441917419433594 × 2 - 1) × π
    0.116165161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.364943616807487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18174045} λ = 1.18174045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364943616807487))-π/2
    2×atan(1.44043278966028)-π/2
    2×0.963949442915332-π/2
    1.92789888583066-1.57079632675     		φ = 0.35710256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18174045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35710256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.460470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90188 KachelY 57923 1.18174045 0.35710256 67.708740 20.460470
    Oben rechts KachelX + 1 90189 KachelY 57923 1.18178839 0.35710256 67.711487 20.460470
    Unten links KachelX 90188 KachelY + 1 57924 1.18174045 0.35705765 67.708740 20.457896
    Unten rechts KachelX + 1 90189 KachelY + 1 57924 1.18178839 0.35705765 67.711487 20.457896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35710256-0.35705765) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35710256-0.35705765) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18174045-1.18178839) × cos(0.35710256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936913587205885 × 6371000     		do = 286.157525688224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18174045-1.18178839) × cos(0.35705765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936929285047957 × 6371000     		du = 286.162320213256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35710256)-sin(0.35705765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936913587205885-0.936929285047957)×R²
    abs(1.18178839-1.18174045)×1.56978420721154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56978420721154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56978420721154e-05×40589641000000     		ar = 81876.5378859709m²