Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90188 / 57653
↖ ↑ ↗
← N 21.153677°
E 67.708740°		 ← 284.84 m → N 21.153677°
E 67.711487°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 21.151115°
E 67.708740°		 ← 284.85 m →
81 138 m²		 N 21.151115°
E 67.711487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688083648681641 y=0.439861297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688083648681641 × 217)
    floor (0.688083648681641 × 131072)
    floor (90188.5)     		tx = 90188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439861297607422 × 217)
    floor (0.439861297607422 × 131072)
    floor (57653.5)     		ty = 57653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90188 / 57653 ti = "17/90188/57653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90188/57653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90188 ÷ 217
    90188 ÷ 131072     		x = 0.688079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57653 ÷ 217
    57653 ÷ 131072     		y = 0.439857482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688079833984375 × 2 - 1) × π
    0.37615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18174045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439857482910156 × 2 - 1) × π
    0.120285034179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.377886579704903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18174045} λ = 1.18174045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377886579704903))-π/2
    2×atan(1.45919743088655)-π/2
    2×0.969998818641849-π/2
    1.9399976372837-1.57079632675     		φ = 0.36920131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18174045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36920131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.153677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90188 KachelY 57653 1.18174045 0.36920131 67.708740 21.153677
    Oben rechts KachelX + 1 90189 KachelY 57653 1.18178839 0.36920131 67.711487 21.153677
    Unten links KachelX 90188 KachelY + 1 57654 1.18174045 0.36915660 67.708740 21.151115
    Unten rechts KachelX + 1 90189 KachelY + 1 57654 1.18178839 0.36915660 67.711487 21.151115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36920131-0.36915660) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36920131-0.36915660) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18174045-1.18178839) × cos(0.36920131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932615866836228 × 6371000     		do = 284.84489126401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18174045-1.18178839) × cos(0.36915660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932632000432013 × 6371000     		du = 284.849818879441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36920131)-sin(0.36915660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932615866836228-0.932632000432013)×R²
    abs(1.18178839-1.18174045)×1.613359578434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.613359578434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.613359578434e-05×40589641000000     		ar = 81138.031351091m²