Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90186 / 57922
N 20.463043°
E 67.703247°
← 286.09 m → N 20.463043°
E 67.705994°

286.12 m

286.12 m
N 20.460470°
E 67.703247°
← 286.10 m →
81 858 m²
N 20.460470°
E 67.705994°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688068389892578 y=0.441913604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688068389892578 × 217)
    floor (0.688068389892578 × 131072)
    floor (90186.5)
    tx = 90186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441913604736328 × 217)
    floor (0.441913604736328 × 131072)
    floor (57922.5)
    ty = 57922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90186 / 57922 ti = "17/90186/57922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90186/57922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90186 ÷ 217
    90186 ÷ 131072
    x = 0.688064575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57922 ÷ 217
    57922 ÷ 131072
    y = 0.441909790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.688064575195312 × 2 - 1) × π
    0.376129150390625 × 3.1415926535
    Λ = 1.18164458
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.441909790039062 × 2 - 1) × π
    0.116180419921875 × 3.1415926535
    Φ = 0.364991553707108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18164458} λ = 1.18164458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364991553707108))-π/2
    2×atan(1.44050184119737)-π/2
    2×0.963971899093476-π/2
    1.92794379818695-1.57079632675
    φ = 0.35714747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18164458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.703247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35714747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.463043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90186 KachelY 57922 1.18164458 0.35714747 67.703247 20.463043
    Oben rechts KachelX + 1 90187 KachelY 57922 1.18169251 0.35714747 67.705994 20.463043
    Unten links KachelX 90186 KachelY + 1 57923 1.18164458 0.35710256 67.703247 20.460470
    Unten rechts KachelX + 1 90187 KachelY + 1 57923 1.18169251 0.35710256 67.705994 20.460470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.35714747-0.35710256) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000
    dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.35714747-0.35710256) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000
    dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.18164458-1.18169251) × cos(0.35714747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936897887474144 × 6371000
    do = 286.093040821991m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.18164458-1.18169251) × cos(0.35710256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936913587205885 × 6371000
    du = 286.097834923946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.35714747)-sin(0.35710256))×
    abs(λ12)×abs(0.936897887474144-0.936913587205885)×
    abs(1.18169251-1.18164458)×1.56997317407592e-05×
    4.79300000000293e-05×1.56997317407592e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56997317407592e-05×40589641000000
    ar = 81858.0873116711m²