Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90180 / 57652
↖ ↑ ↗
← N 21.156239°
E 67.686767°		 ← 284.84 m → N 21.156239°
E 67.689514°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 21.153677°
E 67.686767°		 ← 284.84 m →
81 137 m²		 N 21.153677°
E 67.689514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688022613525391 y=0.439853668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688022613525391 × 217)
    floor (0.688022613525391 × 131072)
    floor (90180.5)     		tx = 90180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439853668212891 × 217)
    floor (0.439853668212891 × 131072)
    floor (57652.5)     		ty = 57652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90180 / 57652 ti = "17/90180/57652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90180/57652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90180 ÷ 217
    90180 ÷ 131072     		x = 0.688018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57652 ÷ 217
    57652 ÷ 131072     		y = 0.439849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688018798828125 × 2 - 1) × π
    0.37603759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18135695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439849853515625 × 2 - 1) × π
    0.12030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377934516604523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18135695} λ = 1.18135695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377934516604523))-π/2
    2×atan(1.45926738196392)-π/2
    2×0.970021171805089-π/2
    1.94004234361018-1.57079632675     		φ = 0.36924602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18135695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.686767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36924602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.156239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90180 KachelY 57652 1.18135695 0.36924602 67.686767 21.156239
    Oben rechts KachelX + 1 90181 KachelY 57652 1.18140489 0.36924602 67.689514 21.156239
    Unten links KachelX 90180 KachelY + 1 57653 1.18135695 0.36920131 67.686767 21.153677
    Unten rechts KachelX + 1 90181 KachelY + 1 57653 1.18140489 0.36920131 67.689514 21.153677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36924602-0.36920131) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36924602-0.36920131) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18135695-1.18140489) × cos(0.36924602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93259973137616 × 6371000     		do = 284.839963079178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18135695-1.18140489) × cos(0.36920131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932615866836228 × 6371000     		du = 284.84489126401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36924602)-sin(0.36920131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93259973137616-0.932615866836228)×R²
    abs(1.18140489-1.18135695)×1.61354600687336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61354600687336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61354600687336e-05×40589641000000     		ar = 81136.6276514052m²