Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90157 / 57572
↖ ↑ ↗
← N 21.361013°
E 67.623596°		 ← 284.38 m → N 21.361013°
E 67.626343°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.358455°
E 67.623596°		 ← 284.39 m →
80 880 m²		 N 21.358455°
E 67.626343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687847137451172 y=0.439243316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687847137451172 × 217)
    floor (0.687847137451172 × 131072)
    floor (90157.5)     		tx = 90157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439243316650391 × 217)
    floor (0.439243316650391 × 131072)
    floor (57572.5)     		ty = 57572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90157 / 57572 ti = "17/90157/57572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90157/57572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90157 ÷ 217
    90157 ÷ 131072     		x = 0.687843322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57572 ÷ 217
    57572 ÷ 131072     		y = 0.439239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687843322753906 × 2 - 1) × π
    0.375686645507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.18025441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439239501953125 × 2 - 1) × π
    0.12152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.381769468574127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18025441} λ = 1.18025441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381769468574127))-π/2
    2×atan(1.46487434663293)-π/2
    2×0.971808168627339-π/2
    1.94361633725468-1.57079632675     		φ = 0.37282001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18025441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.623596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37282001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.361013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90157 KachelY 57572 1.18025441 0.37282001 67.623596 21.361013
    Oben rechts KachelX + 1 90158 KachelY 57572 1.18030234 0.37282001 67.626343 21.361013
    Unten links KachelX 90157 KachelY + 1 57573 1.18025441 0.37277537 67.623596 21.358455
    Unten rechts KachelX + 1 90158 KachelY + 1 57573 1.18030234 0.37277537 67.626343 21.358455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37282001-0.37277537) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dl = 284.401439999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37282001-0.37277537) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dr = 284.401439999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18025441-1.18030234) × cos(0.37282001) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.93130388067951 × 6371000     		do = 284.38484355003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18025441-1.18030234) × cos(0.37277537) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.931320139566385 × 6371000     		du = 284.389808396731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37282001)-sin(0.37277537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93130388067951-0.931320139566385)×R²
    abs(1.18030234-1.18025441)×1.62588868748426e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.62588868748426e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.62588868748426e-05×40589641000000     		ar = 80880.1650380091m²