Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90154 / 58203
↖ ↑ ↗
← N 19.738269°
E 67.615356°		 ← 287.48 m → N 19.738269°
E 67.618103°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.735684°
E 67.615356°		 ← 287.49 m →
82 640 m²		 N 19.735684°
E 67.618103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687824249267578 y=0.444057464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687824249267578 × 217)
    floor (0.687824249267578 × 131072)
    floor (90154.5)     		tx = 90154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444057464599609 × 217)
    floor (0.444057464599609 × 131072)
    floor (58203.5)     		ty = 58203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90154 / 58203 ti = "17/90154/58203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90154/58203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90154 ÷ 217
    90154 ÷ 131072     		x = 0.687820434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58203 ÷ 217
    58203 ÷ 131072     		y = 0.444053649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687820434570312 × 2 - 1) × π
    0.375640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18011059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444053649902344 × 2 - 1) × π
    0.111892700195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.351521284913872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18011059} λ = 1.18011059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351521284913872))-π/2
    2×atan(1.42122799755924)-π/2
    2×0.957647053052697-π/2
    1.91529410610539-1.57079632675     		φ = 0.34449778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18011059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.615356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34449778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.738269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90154 KachelY 58203 1.18011059 0.34449778 67.615356 19.738269
    Oben rechts KachelX + 1 90155 KachelY 58203 1.18015853 0.34449778 67.618103 19.738269
    Unten links KachelX 90154 KachelY + 1 58204 1.18011059 0.34445266 67.615356 19.735684
    Unten rechts KachelX + 1 90155 KachelY + 1 58204 1.18015853 0.34445266 67.618103 19.735684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34449778-0.34445266) × R
    4.51199999999541e-05 × 6371000     		dl = 287.459519999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34449778-0.34445266) × R
    4.51199999999541e-05 × 6371000     		dr = 287.459519999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18011059-1.18015853) × cos(0.34449778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941245183053279 × 6371000     		do = 287.480506555295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18011059-1.18015853) × cos(0.34445266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941260420202401 × 6371000     		du = 287.485160372841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34449778)-sin(0.34445266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941245183053279-0.941260420202401)×R²
    abs(1.18015853-1.18011059)×1.52371491221048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52371491221048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52371491221048e-05×40589641000000     		ar = 82639.6773297479m²