Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90151 / 57550
↖ ↑ ↗
← N 21.417276°
E 67.607116°		 ← 284.33 m → N 21.417276°
E 67.609863°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.414719°
E 67.607116°		 ← 284.34 m →
80 848 m²		 N 21.414719°
E 67.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687801361083984 y=0.439075469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687801361083984 × 217)
    floor (0.687801361083984 × 131072)
    floor (90151.5)     		tx = 90151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439075469970703 × 217)
    floor (0.439075469970703 × 131072)
    floor (57550.5)     		ty = 57550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90151 / 57550 ti = "17/90151/57550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90151/57550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90151 ÷ 217
    90151 ÷ 131072     		x = 0.687797546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57550 ÷ 217
    57550 ÷ 131072     		y = 0.439071655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687797546386719 × 2 - 1) × π
    0.375595092773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.17996678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439071655273438 × 2 - 1) × π
    0.121856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.382824080365768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17996678} λ = 1.17996678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382824080365768))-π/2
    2×atan(1.46642003529965)-π/2
    2×0.972299156266564-π/2
    1.94459831253313-1.57079632675     		φ = 0.37380199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17996678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.607116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37380199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.417276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90151 KachelY 57550 1.17996678 0.37380199 67.607116 21.417276
    Oben rechts KachelX + 1 90152 KachelY 57550 1.18001472 0.37380199 67.609863 21.417276
    Unten links KachelX 90151 KachelY + 1 57551 1.17996678 0.37375736 67.607116 21.414719
    Unten rechts KachelX + 1 90152 KachelY + 1 57551 1.18001472 0.37375736 67.609863 21.414719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37380199-0.37375736) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37380199-0.37375736) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17996678-1.18001472) × cos(0.37380199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930945752214724 × 6371000     		do = 284.334795269852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17996678-1.18001472) × cos(0.37375736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930962048267203 × 6371000     		du = 284.33977250374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37380199)-sin(0.37375736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930945752214724-0.930962048267203)×R²
    abs(1.18001472-1.17996678)×1.62960524785483e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62960524785483e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62960524785483e-05×40589641000000     		ar = 80847.8178681524m²