Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90122 / 58089
↖ ↑ ↗
← N 20.032710°
E 67.527466°		 ← 286.95 m → N 20.032710°
E 67.530212°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 20.030129°
E 67.527466°		 ← 286.95 m →
82 340 m²		 N 20.030129°
E 67.530212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687580108642578 y=0.443187713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687580108642578 × 217)
    floor (0.687580108642578 × 131072)
    floor (90122.5)     		tx = 90122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443187713623047 × 217)
    floor (0.443187713623047 × 131072)
    floor (58089.5)     		ty = 58089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90122 / 58089 ti = "17/90122/58089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90122/58089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90122 ÷ 217
    90122 ÷ 131072     		x = 0.687576293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58089 ÷ 217
    58089 ÷ 131072     		y = 0.443183898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687576293945312 × 2 - 1) × π
    0.375152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17857661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443183898925781 × 2 - 1) × π
    0.113632202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.356986091470558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17857661} λ = 1.17857661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356986091470558))-π/2
    2×atan(1.42901599420463)-π/2
    2×0.960216531312766-π/2
    1.92043306262553-1.57079632675     		φ = 0.34963674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17857661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.527466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34963674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.032710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90122 KachelY 58089 1.17857661 0.34963674 67.527466 20.032710
    Oben rechts KachelX + 1 90123 KachelY 58089 1.17862455 0.34963674 67.530212 20.032710
    Unten links KachelX 90122 KachelY + 1 58090 1.17857661 0.34959170 67.527466 20.030129
    Unten rechts KachelX + 1 90123 KachelY + 1 58090 1.17862455 0.34959170 67.530212 20.030129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34963674-0.34959170) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34963674-0.34959170) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17857661-1.17862455) × cos(0.34963674) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.939497211923385 × 6371000     		do = 286.946631180778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17857661-1.17862455) × cos(0.34959170) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.939512639717383 × 6371000     		du = 286.951343226176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34963674)-sin(0.34959170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939497211923385-0.939512639717383)×R²
    abs(1.17862455-1.17857661)×1.54277939977687e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54277939977687e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54277939977687e-05×40589641000000     		ar = 82339.9659801177m²