Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 901 / 1413
↖ ↑ ↗
← S 56.267761°
W 21.621094°		 ← 10.854 km → S 56.267761°
W 21.445312°		 →
↑
10.840 km
↓
↑
10.840 km
↓
S 56.365250°
W 21.621094°		 ← 10.826 km →
117.512 km²		 S 56.365250°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440185546875 y=0.690185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440185546875 × 211)
    floor (0.440185546875 × 2048)
    floor (901.5)     		tx = 901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690185546875 × 211)
    floor (0.690185546875 × 2048)
    floor (1413.5)     		ty = 1413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 901 / 1413 ti = "11/901/1413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/901/1413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 901 ÷ 211
    901 ÷ 2048     		x = 0.43994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1413 ÷ 211
    1413 ÷ 2048     		y = 0.68994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37735927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19343705294092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37735927} λ = -0.37735927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19343705294092))-π/2
    2×atan(0.30317743435294)-π/2
    2×0.294369316555048-π/2
    0.588738633110095-1.57079632675     		φ = -0.98205769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37735927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98205769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.267761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 901 KachelY 1413 -0.37735927 -0.98205769 -21.621094 -56.267761
    Oben rechts KachelX + 1 902 KachelY 1413 -0.37429131 -0.98205769 -21.445312 -56.267761
    Unten links KachelX 901 KachelY + 1 1414 -0.37735927 -0.98375920 -21.621094 -56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 902 KachelY + 1 1414 -0.37429131 -0.98375920 -21.445312 -56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98205769--0.98375920) × R
    0.00170150999999996 × 6371000     		dl = 10840.3202099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98205769--0.98375920) × R
    0.00170150999999996 × 6371000     		dr = 10840.3202099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37735927--0.37429131) × cos(-0.98205769) × R
    0.00306796000000004 × 0.55531246259701 × 6371000     		do = 10854.1224893348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37735927--0.37429131) × cos(-0.98375920) × R
    0.00306796000000004 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 10826.4483233574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98205769)-sin(-0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55531246259701-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.37429131--0.37735927)×0.00141584999380162×R²
    0.00306796000000004×0.00141584999380162×6371000²
    0.00306796000000004×0.00141584999380162×40589641000000     		ar = 117512193.323726m²