Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90010 / 58138
↖ ↑ ↗
← N 19.906219°
E 67.219849°		 ← 287.18 m → N 19.906219°
E 67.222595°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
N 19.903636°
E 67.219849°		 ← 287.18 m →
82 479 m²		 N 19.903636°
E 67.222595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686725616455078 y=0.443561553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686725616455078 × 217)
    floor (0.686725616455078 × 131072)
    floor (90010.5)     		tx = 90010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443561553955078 × 217)
    floor (0.443561553955078 × 131072)
    floor (58138.5)     		ty = 58138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90010 / 58138 ti = "17/90010/58138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90010/58138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90010 ÷ 217
    90010 ÷ 131072     		x = 0.686721801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58138 ÷ 217
    58138 ÷ 131072     		y = 0.443557739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686721801757812 × 2 - 1) × π
    0.373443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17320768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443557739257812 × 2 - 1) × π
    0.112884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.354637183389175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17320768} λ = 1.17320768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354637183389175))-π/2
    2×atan(1.425663306107)-π/2
    2×0.95911269187672-π/2
    1.91822538375344-1.57079632675     		φ = 0.34742906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17320768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.219849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34742906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.906219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90010 KachelY 58138 1.17320768 0.34742906 67.219849 19.906219
    Oben rechts KachelX + 1 90011 KachelY 58138 1.17325562 0.34742906 67.222595 19.906219
    Unten links KachelX 90010 KachelY + 1 58139 1.17320768 0.34738398 67.219849 19.903636
    Unten rechts KachelX + 1 90011 KachelY + 1 58139 1.17325562 0.34738398 67.222595 19.903636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34742906-0.34738398) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dl = 287.204680000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34742906-0.34738398) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dr = 287.204680000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17320768-1.17325562) × cos(0.34742906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940251177065865 × 6371000     		do = 287.176911541024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17320768-1.17325562) × cos(0.34738398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940266525021266 × 6371000     		du = 287.18159920166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34742906)-sin(0.34738398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940251177065865-0.940266525021266)×R²
    abs(1.17325562-1.17320768)×1.5347955401257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5347955401257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5347955401257e-05×40589641000000     		ar = 82479.2261555992m²