Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 900 / 1432
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 21.796875°		 ← 10.335 km → S 58.077876°
W 21.621094°		 →
↑
10.322 km
↓
↑
10.322 km
↓
S 58.170703°
W 21.796875°		 ← 10.308 km →
106.540 km²		 S 58.170703°
W 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439697265625 y=0.699462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439697265625 × 211)
    floor (0.439697265625 × 2048)
    floor (900.5)     		tx = 900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699462890625 × 211)
    floor (0.699462890625 × 2048)
    floor (1432.5)     		ty = 1432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 900 / 1432 ti = "11/900/1432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/900/1432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 900 ÷ 211
    900 ÷ 2048     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1432 ÷ 211
    1432 ÷ 2048     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 900 KachelY 1432 -0.38042724 -1.01365016 -21.796875 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 901 KachelY 1432 -0.37735927 -1.01365016 -21.621094 -58.077876
    Unten links KachelX 900 KachelY + 1 1433 -0.38042724 -1.01527029 -21.796875 -58.170703
    Unten rechts KachelX + 1 901 KachelY + 1 1433 -0.37735927 -1.01527029 -21.621094 -58.170703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01527029) × R
    0.00162012999999983 × 6371000     		dl = 10321.8482299989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01527029) × R
    0.00162012999999983 × 6371000     		dr = 10321.8482299989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37735927) × cos(-1.01365016) × R
    0.00306796999999998 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 10335.2819471175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37735927) × cos(-1.01527029) × R
    0.00306796999999998 × 0.527390306179784 × 6371000     		du = 10308.3903694706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01527029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.527390306179784)×R²
    abs(-0.37735927--0.38042724)×0.00137580716877528×R²
    0.00306796999999998×0.00137580716877528×6371000²
    0.00306796999999998×0.00137580716877528×40589641000000     		ar = 106540449.584971m²