Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89999 / 58001
↖ ↑ ↗
← N 20.259620°
E 67.189636°		 ← 286.47 m → N 20.259620°
E 67.192383°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.257044°
E 67.189636°		 ← 286.48 m →
82 076 m²		 N 20.257044°
E 67.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686641693115234 y=0.442516326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686641693115234 × 217)
    floor (0.686641693115234 × 131072)
    floor (89999.5)     		tx = 89999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442516326904297 × 217)
    floor (0.442516326904297 × 131072)
    floor (58001.5)     		ty = 58001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89999 / 58001 ti = "17/89999/58001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89999/58001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89999 ÷ 217
    89999 ÷ 131072     		x = 0.686637878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58001 ÷ 217
    58001 ÷ 131072     		y = 0.442512512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686637878417969 × 2 - 1) × π
    0.373275756835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.17268038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442512512207031 × 2 - 1) × π
    0.114974975585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.361204538637123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17268038} λ = 1.17268038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361204538637123))-π/2
    2×atan(1.43505695545591)-π/2
    2×0.962196704733674-π/2
    1.92439340946735-1.57079632675     		φ = 0.35359708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17268038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.189636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35359708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.259620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89999 KachelY 58001 1.17268038 0.35359708 67.189636 20.259620
    Oben rechts KachelX + 1 90000 KachelY 58001 1.17272831 0.35359708 67.192383 20.259620
    Unten links KachelX 89999 KachelY + 1 58002 1.17268038 0.35355211 67.189636 20.257044
    Unten rechts KachelX + 1 90000 KachelY + 1 58002 1.17272831 0.35355211 67.192383 20.257044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35359708-0.35355211) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35359708-0.35355211) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17268038-1.17272831) × cos(0.35359708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938133207404081 × 6371000     		do = 286.470260623496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17268038-1.17272831) × cos(0.35355211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		du = 286.475015421556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35359708)-sin(0.35355211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938133207404081-0.938148778423371)×R²
    abs(1.17272831-1.17268038)×1.55710192902836e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55710192902836e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55710192902836e-05×40589641000000     		ar = 82075.5194564758m²