Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89999 / 57425
↖ ↑ ↗
← N 21.736540°
E 67.189636°		 ← 283.65 m → N 21.736540°
E 67.192383°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 21.733989°
E 67.189636°		 ← 283.65 m →
80 472 m²		 N 21.733989°
E 67.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686641693115234 y=0.438121795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686641693115234 × 217)
    floor (0.686641693115234 × 131072)
    floor (89999.5)     		tx = 89999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438121795654297 × 217)
    floor (0.438121795654297 × 131072)
    floor (57425.5)     		ty = 57425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89999 / 57425 ti = "17/89999/57425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89999/57425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89999 ÷ 217
    89999 ÷ 131072     		x = 0.686637878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57425 ÷ 217
    57425 ÷ 131072     		y = 0.438117980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686637878417969 × 2 - 1) × π
    0.373275756835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.17268038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438117980957031 × 2 - 1) × π
    0.123764038085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.388816192818275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17268038} λ = 1.17268038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388816192818275))-π/2
    2×atan(1.47523336792335)-π/2
    2×0.975085258449164-π/2
    1.95017051689833-1.57079632675     		φ = 0.37937419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17268038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.189636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37937419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.736540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89999 KachelY 57425 1.17268038 0.37937419 67.189636 21.736540
    Oben rechts KachelX + 1 90000 KachelY 57425 1.17272831 0.37937419 67.192383 21.736540
    Unten links KachelX 89999 KachelY + 1 57426 1.17268038 0.37932966 67.189636 21.733989
    Unten rechts KachelX + 1 90000 KachelY + 1 57426 1.17272831 0.37932966 67.192383 21.733989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37937419-0.37932966) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37937419-0.37932966) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17268038-1.17272831) × cos(0.37937419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928896579450075 × 6371000     		do = 283.649745161105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17268038-1.17272831) × cos(0.37932966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928913069734982 × 6371000     		du = 283.654780667979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37937419)-sin(0.37932966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928896579450075-0.928913069734982)×R²
    abs(1.17272831-1.17268038)×1.64902849066895e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64902849066895e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64902849066895e-05×40589641000000     		ar = 80472.325703022m²