Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89992 / 58129
↖ ↑ ↗
← N 19.929459°
E 67.170410°		 ← 287.07 m → N 19.929459°
E 67.173157°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.926877°
E 67.170410°		 ← 287.08 m →
82 413 m²		 N 19.926877°
E 67.173157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686588287353516 y=0.443492889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686588287353516 × 217)
    floor (0.686588287353516 × 131072)
    floor (89992.5)     		tx = 89992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443492889404297 × 217)
    floor (0.443492889404297 × 131072)
    floor (58129.5)     		ty = 58129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89992 / 58129 ti = "17/89992/58129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89992/58129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89992 ÷ 217
    89992 ÷ 131072     		x = 0.68658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58129 ÷ 217
    58129 ÷ 131072     		y = 0.443489074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68658447265625 × 2 - 1) × π
    0.3731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17234482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443489074707031 × 2 - 1) × π
    0.113021850585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.355068615485756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17234482} λ = 1.17234482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355068615485756))-π/2
    2×atan(1.42627851571722)-π/2
    2×0.959315504243303-π/2
    1.91863100848661-1.57079632675     		φ = 0.34783468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17234482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34783468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.929459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89992 KachelY 58129 1.17234482 0.34783468 67.170410 19.929459
    Oben rechts KachelX + 1 89993 KachelY 58129 1.17239275 0.34783468 67.173157 19.929459
    Unten links KachelX 89992 KachelY + 1 58130 1.17234482 0.34778962 67.170410 19.926877
    Unten rechts KachelX + 1 89993 KachelY + 1 58130 1.17239275 0.34778962 67.173157 19.926877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34783468-0.34778962) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34783468-0.34778962) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17234482-1.17239275) × cos(0.34783468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940112993571999 × 6371000     		do = 287.074812146698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17234482-1.17239275) × cos(0.34778962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.940128351902687 × 6371000     		du = 287.079501997735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34783468)-sin(0.34778962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940112993571999-0.940128351902687)×R²
    abs(1.17239275-1.17234482)×1.53583306881089e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53583306881089e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53583306881089e-05×40589641000000     		ar = 82413.3236748218m²