Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 89959 / 58028
↖ ↑ ↗
← N 20.190035°
E 67.079773°		 ← 286.66 m → N 20.190035°
E 67.082520°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.187457°
E 67.079773°		 ← 286.66 m →
82 166 m²		 N 20.187457°
E 67.082520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686336517333984 y=0.442722320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686336517333984 × 217)
    floor (0.686336517333984 × 131072)
    floor (89959.5)     		tx = 89959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442722320556641 × 217)
    floor (0.442722320556641 × 131072)
    floor (58028.5)     		ty = 58028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89959 / 58028 ti = "17/89959/58028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89959/58028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89959 ÷ 217
    89959 ÷ 131072     		x = 0.686332702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58028 ÷ 217
    58028 ÷ 131072     		y = 0.442718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686332702636719 × 2 - 1) × π
    0.372665405273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.17076290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442718505859375 × 2 - 1) × π
    0.11456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359910242347382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17076290} λ = 1.17076290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359910242347382))-π/2
    2×atan(1.43320076805025)-π/2
    2×0.961589457650277-π/2
    1.92317891530055-1.57079632675     		φ = 0.35238259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17076290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.079773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35238259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.190035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89959 KachelY 58028 1.17076290 0.35238259 67.079773 20.190035
    Oben rechts KachelX + 1 89960 KachelY 58028 1.17081084 0.35238259 67.082520 20.190035
    Unten links KachelX 89959 KachelY + 1 58029 1.17076290 0.35233760 67.079773 20.187457
    Unten rechts KachelX + 1 89960 KachelY + 1 58029 1.17081084 0.35233760 67.082520 20.187457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35238259-0.35233760) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dl = 286.631290000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35238259-0.35233760) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dr = 286.631290000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17076290-1.17081084) × cos(0.35238259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938553062449513 × 6371000     		do = 286.658263627721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17076290-1.17081084) × cos(0.35233760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93856858912204 × 6371000     		du = 286.663005873167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35238259)-sin(0.35233760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938553062449513-0.93856858912204)×R²
    abs(1.17081084-1.17076290)×1.5526672526911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5526672526911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5526672526911e-05×40589641000000     		ar = 82165.9075446949m²