Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89953 / 57441
↖ ↑ ↗
← N 21.695713°
E 67.063294°		 ← 283.73 m → N 21.695713°
E 67.066040°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
N 21.693161°
E 67.063294°		 ← 283.74 m →
80 513 m²		 N 21.693161°
E 67.066040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686290740966797 y=0.438243865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686290740966797 × 217)
    floor (0.686290740966797 × 131072)
    floor (89953.5)     		tx = 89953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438243865966797 × 217)
    floor (0.438243865966797 × 131072)
    floor (57441.5)     		ty = 57441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89953 / 57441 ti = "17/89953/57441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89953/57441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89953 ÷ 217
    89953 ÷ 131072     		x = 0.686286926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57441 ÷ 217
    57441 ÷ 131072     		y = 0.438240051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686286926269531 × 2 - 1) × π
    0.372573852539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.17047528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438240051269531 × 2 - 1) × π
    0.123519897460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.388049202424355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17047528} λ = 1.17047528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388049202424355))-π/2
    2×atan(1.47410231191135)-π/2
    2×0.97472898050525-π/2
    1.9494579610105-1.57079632675     		φ = 0.37866163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17047528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.063294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37866163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.695713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89953 KachelY 57441 1.17047528 0.37866163 67.063294 21.695713
    Oben rechts KachelX + 1 89954 KachelY 57441 1.17052321 0.37866163 67.066040 21.695713
    Unten links KachelX 89953 KachelY + 1 57442 1.17047528 0.37861709 67.063294 21.693161
    Unten rechts KachelX + 1 89954 KachelY + 1 57442 1.17052321 0.37861709 67.066040 21.693161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37866163-0.37861709) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dl = 283.764340000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37866163-0.37861709) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dr = 283.764340000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17047528-1.17052321) × cos(0.37866163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929160232529125 × 6371000     		do = 283.730254800539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17047528-1.17052321) × cos(0.37861709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929176697031781 × 6371000     		du = 283.735282434493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37866163)-sin(0.37861709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929160232529125-0.929176697031781)×R²
    abs(1.17052321-1.17047528)×1.64645026555776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64645026555776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64645026555776e-05×40589641000000     		ar = 80513.2418364358m²