Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89941 / 58061
↖ ↑ ↗
← N 20.104944°
E 67.030335°		 ← 286.75 m → N 20.104944°
E 67.033081°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.102365°
E 67.030335°		 ← 286.76 m →
82 248 m²		 N 20.102365°
E 67.033081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686199188232422 y=0.442974090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686199188232422 × 217)
    floor (0.686199188232422 × 131072)
    floor (89941.5)     		tx = 89941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442974090576172 × 217)
    floor (0.442974090576172 × 131072)
    floor (58061.5)     		ty = 58061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89941 / 58061 ti = "17/89941/58061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89941/58061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89941 ÷ 217
    89941 ÷ 131072     		x = 0.686195373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58061 ÷ 217
    58061 ÷ 131072     		y = 0.442970275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686195373535156 × 2 - 1) × π
    0.372390747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.16990004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442970275878906 × 2 - 1) × π
    0.114059448242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.35832832465992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16990004} λ = 1.16990004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35832832465992))-π/2
    2×atan(1.43093535472672)-π/2
    2×0.960846898386671-π/2
    1.92169379677334-1.57079632675     		φ = 0.35089747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16990004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.030335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35089747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.104944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89941 KachelY 58061 1.16990004 0.35089747 67.030335 20.104944
    Oben rechts KachelX + 1 89942 KachelY 58061 1.16994797 0.35089747 67.033081 20.104944
    Unten links KachelX 89941 KachelY + 1 58062 1.16990004 0.35085245 67.030335 20.102365
    Unten rechts KachelX + 1 89942 KachelY + 1 58062 1.16994797 0.35085245 67.033081 20.102365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35089747-0.35085245) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35089747-0.35085245) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16990004-1.16994797) × cos(0.35089747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939064594083456 × 6371000     		do = 286.754670750626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16990004-1.16994797) × cos(0.35085245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93908006833938 × 6371000     		du = 286.759396000827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35089747)-sin(0.35085245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939064594083456-0.93908006833938)×R²
    abs(1.16994797-1.16990004)×1.54742559245191e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54742559245191e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54742559245191e-05×40589641000000     		ar = 82248.3462787502m²