Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89929 / 58054
↖ ↑ ↗
← N 20.122997°
E 66.997375°		 ← 286.78 m → N 20.122997°
E 67.000122°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.120419°
E 66.997375°		 ← 286.79 m →
82 238 m²		 N 20.120419°
E 67.000122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686107635498047 y=0.442920684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686107635498047 × 217)
    floor (0.686107635498047 × 131072)
    floor (89929.5)     		tx = 89929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442920684814453 × 217)
    floor (0.442920684814453 × 131072)
    floor (58054.5)     		ty = 58054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89929 / 58054 ti = "17/89929/58054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89929/58054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89929 ÷ 217
    89929 ÷ 131072     		x = 0.686103820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58054 ÷ 217
    58054 ÷ 131072     		y = 0.442916870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686103820800781 × 2 - 1) × π
    0.372207641601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.16932479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    0.114166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.35866388295726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16932479} λ = 1.16932479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35866388295726))-π/2
    2×atan(1.43141559752818)-π/2
    2×0.961004444755935-π/2
    1.92200888951187-1.57079632675     		φ = 0.35121256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16932479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.997375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35121256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.122997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89929 KachelY 58054 1.16932479 0.35121256 66.997375 20.122997
    Oben rechts KachelX + 1 89930 KachelY 58054 1.16937273 0.35121256 67.000122 20.122997
    Unten links KachelX 89929 KachelY + 1 58055 1.16932479 0.35116755 66.997375 20.120419
    Unten rechts KachelX + 1 89930 KachelY + 1 58055 1.16937273 0.35116755 67.000122 20.120419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35121256-0.35116755) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35121256-0.35116755) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16932479-1.16937273) × cos(0.35121256) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.93895623820327 × 6371000     		do = 286.78140388199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16932479-1.16937273) × cos(0.35116755) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.938971722339554 × 6371000     		du = 286.786133135773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35121256)-sin(0.35116755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93895623820327-0.938971722339554)×R²
    abs(1.16937273-1.16932479)×1.54841362841607e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54841362841607e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54841362841607e-05×40589641000000     		ar = 82237.7435204902m²