Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89922 / 57665
↖ ↑ ↗
← N 21.122935°
E 66.978149°		 ← 284.90 m → N 21.122935°
E 66.980896°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 21.120374°
E 66.978149°		 ← 284.91 m →
81 155 m²		 N 21.120374°
E 66.980896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686054229736328 y=0.439952850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686054229736328 × 217)
    floor (0.686054229736328 × 131072)
    floor (89922.5)     		tx = 89922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439952850341797 × 217)
    floor (0.439952850341797 × 131072)
    floor (57665.5)     		ty = 57665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89922 / 57665 ti = "17/89922/57665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89922/57665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89922 ÷ 217
    89922 ÷ 131072     		x = 0.686050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57665 ÷ 217
    57665 ÷ 131072     		y = 0.439949035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686050415039062 × 2 - 1) × π
    0.372100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16898923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439949035644531 × 2 - 1) × π
    0.120101928710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.377311336909462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16898923} λ = 1.16898923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377311336909462))-π/2
    2×atan(1.45835827945835)-π/2
    2×0.969730550531922-π/2
    1.93946110106384-1.57079632675     		φ = 0.36866477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16898923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.978149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36866477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.122935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89922 KachelY 57665 1.16898923 0.36866477 66.978149 21.122935
    Oben rechts KachelX + 1 89923 KachelY 57665 1.16903717 0.36866477 66.980896 21.122935
    Unten links KachelX 89922 KachelY + 1 57666 1.16898923 0.36862006 66.978149 21.120374
    Unten rechts KachelX + 1 89923 KachelY + 1 57666 1.16903717 0.36862006 66.980896 21.120374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36866477-0.36862006) × R
    4.47099999999478e-05 × 6371000     		dl = 284.847409999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36866477-0.36862006) × R
    4.47099999999478e-05 × 6371000     		dr = 284.847409999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16898923-1.16903717) × cos(0.36866477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932809354141062 × 6371000     		do = 284.903987267269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16898923-1.16903717) × cos(0.36862006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932825465362086 × 6371000     		du = 284.908908048873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36866477)-sin(0.36862006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932809354141062-0.932825465362086)×R²
    abs(1.16903717-1.16898923)×1.61112210242953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61112210242953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61112210242953e-05×40589641000000     		ar = 81154.863721102m²