Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89919 / 58051
↖ ↑ ↗
← N 20.130734°
E 66.969909°		 ← 286.77 m → N 20.130734°
E 66.972656°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.128155°
E 66.969909°		 ← 286.77 m →
82 234 m²		 N 20.128155°
E 66.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686031341552734 y=0.442897796630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686031341552734 × 217)
    floor (0.686031341552734 × 131072)
    floor (89919.5)     		tx = 89919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442897796630859 × 217)
    floor (0.442897796630859 × 131072)
    floor (58051.5)     		ty = 58051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89919 / 58051 ti = "17/89919/58051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89919/58051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89919 ÷ 217
    89919 ÷ 131072     		x = 0.686027526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58051 ÷ 217
    58051 ÷ 131072     		y = 0.442893981933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686027526855469 × 2 - 1) × π
    0.372055053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.16884542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442893981933594 × 2 - 1) × π
    0.114212036132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.35880769365612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16884542} λ = 1.16884542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35880769365612))-π/2
    2×atan(1.43162146520825)-π/2
    2×0.961071959061882-π/2
    1.92214391812376-1.57079632675     		φ = 0.35134759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16884542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.969909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35134759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.130734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89919 KachelY 58051 1.16884542 0.35134759 66.969909 20.130734
    Oben rechts KachelX + 1 89920 KachelY 58051 1.16889336 0.35134759 66.972656 20.130734
    Unten links KachelX 89919 KachelY + 1 58052 1.16884542 0.35130258 66.969909 20.128155
    Unten rechts KachelX + 1 89920 KachelY + 1 58052 1.16889336 0.35130258 66.972656 20.128155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35134759-0.35130258) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35134759-0.35130258) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16884542-1.16889336) × cos(0.35134759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938909774381154 × 6371000     		do = 286.767212633409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16884542-1.16889336) × cos(0.35130258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938925264224038 × 6371000     		du = 286.771943630134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35134759)-sin(0.35130258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938909774381154-0.938925264224038)×R²
    abs(1.16889336-1.16884542)×1.54898428846861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54898428846861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54898428846861e-05×40589641000000     		ar = 82233.6743062553m²