Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89906 / 58097
↖ ↑ ↗
← N 20.012065°
E 66.934204°		 ← 286.98 m → N 20.012065°
E 66.936951°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 20.009484°
E 66.934204°		 ← 286.99 m →
82 351 m²		 N 20.009484°
E 66.936951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685932159423828 y=0.443248748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685932159423828 × 217)
    floor (0.685932159423828 × 131072)
    floor (89906.5)     		tx = 89906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443248748779297 × 217)
    floor (0.443248748779297 × 131072)
    floor (58097.5)     		ty = 58097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89906 / 58097 ti = "17/89906/58097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89906/58097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89906 ÷ 217
    89906 ÷ 131072     		x = 0.685928344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58097 ÷ 217
    58097 ÷ 131072     		y = 0.443244934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685928344726562 × 2 - 1) × π
    0.371856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16822224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443244934082031 × 2 - 1) × π
    0.113510131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.356602596273598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16822224} λ = 1.16822224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356602596273598))-π/2
    2×atan(1.42846807850271)-π/2
    2×0.960036373148904-π/2
    1.92007274629781-1.57079632675     		φ = 0.34927642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16822224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.934204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34927642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.012065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89906 KachelY 58097 1.16822224 0.34927642 66.934204 20.012065
    Oben rechts KachelX + 1 89907 KachelY 58097 1.16827018 0.34927642 66.936951 20.012065
    Unten links KachelX 89906 KachelY + 1 58098 1.16822224 0.34923138 66.934204 20.009484
    Unten rechts KachelX + 1 89907 KachelY + 1 58098 1.16827018 0.34923138 66.936951 20.009484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34927642-0.34923138) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34927642-0.34923138) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16822224-1.16827018) × cos(0.34927642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939620580908504 × 6371000     		do = 286.984311243021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16822224-1.16827018) × cos(0.34923138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939635993454451 × 6371000     		du = 286.989018631273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34927642)-sin(0.34923138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939620580908504-0.939635993454451)×R²
    abs(1.16827018-1.16822224)×1.54125459470578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54125459470578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54125459470578e-05×40589641000000     		ar = 82350.7775997009m²