Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89864 / 58137
↖ ↑ ↗
← N 19.908801°
E 66.818847°		 ← 287.17 m → N 19.908801°
E 66.821594°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.906219°
E 66.818847°		 ← 287.18 m →
82 460 m²		 N 19.906219°
E 66.821594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685611724853516 y=0.443553924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685611724853516 × 217)
    floor (0.685611724853516 × 131072)
    floor (89864.5)     		tx = 89864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443553924560547 × 217)
    floor (0.443553924560547 × 131072)
    floor (58137.5)     		ty = 58137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89864 / 58137 ti = "17/89864/58137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89864/58137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89864 ÷ 217
    89864 ÷ 131072     		x = 0.68560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58137 ÷ 217
    58137 ÷ 131072     		y = 0.443550109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68560791015625 × 2 - 1) × π
    0.3712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16620889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443550109863281 × 2 - 1) × π
    0.112899780273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.354685120288795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16620889} λ = 1.16620889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354685120288795))-π/2
    2×atan(1.42573164962387)-π/2
    2×0.959135228055969-π/2
    1.91827045611194-1.57079632675     		φ = 0.34747413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16620889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.818847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34747413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.908801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89864 KachelY 58137 1.16620889 0.34747413 66.818847 19.908801
    Oben rechts KachelX + 1 89865 KachelY 58137 1.16625683 0.34747413 66.821594 19.908801
    Unten links KachelX 89864 KachelY + 1 58138 1.16620889 0.34742906 66.818847 19.906219
    Unten rechts KachelX + 1 89865 KachelY + 1 58138 1.16625683 0.34742906 66.821594 19.906219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34747413-0.34742906) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dl = 287.140969999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34747413-0.34742906) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dr = 287.140969999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16620889-1.16625683) × cos(0.34747413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940235830604919 × 6371000     		do = 287.172224336834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16620889-1.16625683) × cos(0.34742906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940251177065865 × 6371000     		du = 287.176911541024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34747413)-sin(0.34742906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940235830604919-0.940251177065865)×R²
    abs(1.16625683-1.16620889)×1.53464609456977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53464609456977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53464609456977e-05×40589641000000     		ar = 82459.5840112394m²