Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89798 / 57402
↖ ↑ ↗
← N 21.795207°
E 66.637573°		 ← 283.59 m → N 21.795207°
E 66.640320°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.792657°
E 66.637573°		 ← 283.60 m →
80 420 m²		 N 21.792657°
E 66.640320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685108184814453 y=0.437946319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685108184814453 × 217)
    floor (0.685108184814453 × 131072)
    floor (89798.5)     		tx = 89798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437946319580078 × 217)
    floor (0.437946319580078 × 131072)
    floor (57402.5)     		ty = 57402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89798 / 57402 ti = "17/89798/57402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89798/57402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89798 ÷ 217
    89798 ÷ 131072     		x = 0.685104370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57402 ÷ 217
    57402 ÷ 131072     		y = 0.437942504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685104370117188 × 2 - 1) × π
    0.370208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.16304506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437942504882812 × 2 - 1) × π
    0.124114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.389918741509537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16304506} λ = 1.16304506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389918741509537))-π/2
    2×atan(1.47686078152897)-π/2
    2×0.975597230683041-π/2
    1.95119446136608-1.57079632675     		φ = 0.38039813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16304506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.637573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38039813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.795207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89798 KachelY 57402 1.16304506 0.38039813 66.637573 21.795207
    Oben rechts KachelX + 1 89799 KachelY 57402 1.16309300 0.38039813 66.640320 21.795207
    Unten links KachelX 89798 KachelY + 1 57403 1.16304506 0.38035362 66.637573 21.792657
    Unten rechts KachelX + 1 89799 KachelY + 1 57403 1.16309300 0.38035362 66.640320 21.792657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38039813-0.38035362) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38039813-0.38035362) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16304506-1.16309300) × cos(0.38039813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		do = 283.592957440662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16304506-1.16309300) × cos(0.38035362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928533412619439 × 6371000     		du = 283.598004663831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38039813)-sin(0.38035362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928516887413772-0.928533412619439)×R²
    abs(1.16309300-1.16304506)×1.6525205667195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6525205667195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6525205667195e-05×40589641000000     		ar = 80420.0809167711m²