Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89776 / 58288
↖ ↑ ↗
← N 19.518376°
E 66.577149°		 ← 287.81 m → N 19.518376°
E 66.579895°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.515786°
E 66.577149°		 ← 287.82 m →
82 864 m²		 N 19.515786°
E 66.579895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.684940338134766 y=0.444705963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.684940338134766 × 217)
    floor (0.684940338134766 × 131072)
    floor (89776.5)     		tx = 89776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444705963134766 × 217)
    floor (0.444705963134766 × 131072)
    floor (58288.5)     		ty = 58288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89776 / 58288 ti = "17/89776/58288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89776/58288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89776 ÷ 217
    89776 ÷ 131072     		x = 0.6849365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58288 ÷ 217
    58288 ÷ 131072     		y = 0.4447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6849365234375 × 2 - 1) × π
    0.369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.16199045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    0.110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.347446648446167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16199045} λ = 1.16199045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347446648446167))-π/2
    2×atan(1.41544879220775)-π/2
    2×0.955728121763829-π/2
    1.91145624352766-1.57079632675     		φ = 0.34065992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16199045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.577149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34065992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.518376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89776 KachelY 58288 1.16199045 0.34065992 66.577149 19.518376
    Oben rechts KachelX + 1 89777 KachelY 58288 1.16203838 0.34065992 66.579895 19.518376
    Unten links KachelX 89776 KachelY + 1 58289 1.16199045 0.34061473 66.577149 19.515786
    Unten rechts KachelX + 1 89777 KachelY + 1 58289 1.16203838 0.34061473 66.579895 19.515786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34065992-0.34061473) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34065992-0.34061473) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16199045-1.16203838) × cos(0.34065992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94253438546029 × 6371000     		do = 287.814213289133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16199045-1.16203838) × cos(0.34061473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94254948289093 × 6371000     		du = 287.818823471201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34065992)-sin(0.34061473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94253438546029-0.94254948289093)×R²
    abs(1.16203838-1.16199045)×1.50974306402096e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50974306402096e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50974306402096e-05×40589641000000     		ar = 82863.9557684975m²