Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89727 / 58239
↖ ↑ ↗
← N 19.645174°
E 66.442566°		 ← 287.65 m → N 19.645174°
E 66.445313°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.642588°
E 66.442566°		 ← 287.65 m →
82 724 m²		 N 19.642588°
E 66.445313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.684566497802734 y=0.444332122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.684566497802734 × 217)
    floor (0.684566497802734 × 131072)
    floor (89727.5)     		tx = 89727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444332122802734 × 217)
    floor (0.444332122802734 × 131072)
    floor (58239.5)     		ty = 58239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89727 / 58239 ti = "17/89727/58239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89727/58239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89727 ÷ 217
    89727 ÷ 131072     		x = 0.684562683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58239 ÷ 217
    58239 ÷ 131072     		y = 0.444328308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.684562683105469 × 2 - 1) × π
    0.369125366210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.15964154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444328308105469 × 2 - 1) × π
    0.111343383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.34979555652755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15964154} λ = 1.15964154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34979555652755))-π/2
    2×atan(1.41877745915044)-π/2
    2×0.956834649924994-π/2
    1.91366929984999-1.57079632675     		φ = 0.34287297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15964154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.442566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34287297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.645174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89727 KachelY 58239 1.15964154 0.34287297 66.442566 19.645174
    Oben rechts KachelX + 1 89728 KachelY 58239 1.15968948 0.34287297 66.445313 19.645174
    Unten links KachelX 89727 KachelY + 1 58240 1.15964154 0.34282783 66.442566 19.642588
    Unten rechts KachelX + 1 89728 KachelY + 1 58240 1.15968948 0.34282783 66.445313 19.642588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34287297-0.34282783) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34287297-0.34282783) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15964154-1.15968948) × cos(0.34287297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941792677709874 × 6371000     		do = 287.647725515931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15964154-1.15968948) × cos(0.34282783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941807852557362 × 6371000     		du = 287.652360304955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34287297)-sin(0.34282783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941792677709874-0.941807852557362)×R²
    abs(1.15968948-1.15964154)×1.51748474874758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51748474874758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51748474874758e-05×40589641000000     		ar = 82724.3956454908m²