Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 895 / 1416
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
W 22.675781°		 ← 10.771 km → S 56.559482°
W 22.500000°		 →
↑
10.757 km
↓
↑
10.757 km
↓
S 56.656226°
W 22.675781°		 ← 10.744 km →
115.722 km²		 S 56.656226°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437255859375 y=0.691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437255859375 × 211)
    floor (0.437255859375 × 2048)
    floor (895.5)     		tx = 895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691650390625 × 211)
    floor (0.691650390625 × 2048)
    floor (1416.5)     		ty = 1416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 895 / 1416 ti = "11/895/1416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/895/1416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 895 ÷ 211
    895 ÷ 2048     		x = 0.43701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1416 ÷ 211
    1416 ÷ 2048     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39576704} λ = -0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 895 KachelY 1416 -0.39576704 -0.98714919 -22.675781 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 896 KachelY 1416 -0.39269908 -0.98714919 -22.500000 -56.559482
    Unten links KachelX 895 KachelY + 1 1417 -0.39576704 -0.98883769 -22.675781 -56.656226
    Unten rechts KachelX + 1 896 KachelY + 1 1417 -0.39269908 -0.98883769 -22.500000 -56.656226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.98883769) × R
    0.00168849999999998 × 6371000     		dl = 10757.4334999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.98883769) × R
    0.00168849999999998 × 6371000     		dr = 10757.4334999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39576704--0.39269908) × cos(-0.98714919) × R
    0.00306796000000004 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 10771.2185636423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39576704--0.39269908) × cos(-0.98883769) × R
    0.00306796000000004 × 0.549661211087751 × 6371000     		du = 10743.6632790144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.98883769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.549661211087751)×R²
    abs(-0.39269908--0.39576704)×0.00140976785357882×R²
    0.00306796000000004×0.00140976785357882×6371000²
    0.00306796000000004×0.00140976785357882×40589641000000     		ar = 115722482.83541m²