Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 893 / 1405
↖ ↑ ↗
← S 55.478854°
W 23.027344°		 ← 11.077 km → S 55.478854°
W 22.851562°		 →
↑
11.063 km
↓
↑
11.063 km
↓
S 55.578345°
W 23.027344°		 ← 11.049 km →
122.389 km²		 S 55.578345°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436279296875 y=0.686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436279296875 × 211)
    floor (0.436279296875 × 2048)
    floor (893.5)     		tx = 893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686279296875 × 211)
    floor (0.686279296875 × 2048)
    floor (1405.5)     		ty = 1405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 893 / 1405 ti = "11/893/1405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/893/1405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 893 ÷ 211
    893 ÷ 2048     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1405 ÷ 211
    1405 ÷ 2048     		y = 0.68603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68603515625 × 2 - 1) × π
    -0.3720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16889336033545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16889336033545))-π/2
    2×atan(0.310710595749024)-π/2
    2×0.301253834323803-π/2
    0.602507668647606-1.57079632675     		φ = -0.96828866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96828866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.478854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 893 KachelY 1405 -0.40190297 -0.96828866 -23.027344 -55.478854
    Oben rechts KachelX + 1 894 KachelY 1405 -0.39883500 -0.96828866 -22.851562 -55.478854
    Unten links KachelX 893 KachelY + 1 1406 -0.40190297 -0.97002511 -23.027344 -55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 894 KachelY + 1 1406 -0.39883500 -0.97002511 -22.851562 -55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96828866--0.97002511) × R
    0.00173645 × 6371000     		dl = 11062.92295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96828866--0.97002511) × R
    0.00173645 × 6371000     		dr = 11062.92295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.39883500) × cos(-0.96828866) × R
    0.00306797000000003 × 0.566710362596155 × 6371000     		do = 11076.9416419156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.39883500) × cos(-0.97002511) × R
    0.00306797000000003 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 11048.9606204495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96828866)-sin(-0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566710362596155-0.56527881810188)×R²
    abs(-0.39883500--0.40190297)×0.00143154449427507×R²
    0.00306797000000003×0.00143154449427507×6371000²
    0.00306797000000003×0.00143154449427507×40589641000000     		ar = 122388606.716671m²