Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 892 / 1406
↖ ↑ ↗
← S 55.578345°
W 23.203125°		 ← 11.049 km → S 55.578345°
W 23.027344°		 →
↑
11.035 km
↓
↑
11.035 km
↓
S 55.677585°
W 23.203125°		 ← 11.021 km →
121.770 km²		 S 55.677585°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435791015625 y=0.686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435791015625 × 211)
    floor (0.435791015625 × 2048)
    floor (892.5)     		tx = 892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686767578125 × 211)
    floor (0.686767578125 × 2048)
    floor (1406.5)     		ty = 1406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 892 / 1406 ti = "11/892/1406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/892/1406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 892 ÷ 211
    892 ÷ 2048     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1406 ÷ 211
    1406 ÷ 2048     		y = 0.6865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    -0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17196132191113))-π/2
    2×atan(0.309758808350242)-π/2
    2×0.300385609738003-π/2
    0.600771219476006-1.57079632675     		φ = -0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 892 KachelY 1406 -0.40497093 -0.97002511 -23.203125 -55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 893 KachelY 1406 -0.40190297 -0.97002511 -23.027344 -55.578345
    Unten links KachelX 892 KachelY + 1 1407 -0.40497093 -0.97175717 -23.203125 -55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 893 KachelY + 1 1407 -0.40190297 -0.97175717 -23.027344 -55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97002511--0.97175717) × R
    0.00173205999999992 × 6371000     		dl = 11034.9542599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97002511--0.97175717) × R
    0.00173205999999992 × 6371000     		dr = 11034.9542599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.40190297) × cos(-0.97002511) × R
    0.00306795999999998 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 11048.9246065358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.40190297) × cos(-0.97175717) × R
    0.00306795999999998 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 11020.9812269696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97002511)-sin(-0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.563849194755044)×R²
    abs(-0.40190297--0.40497093)×0.00142962334683661×R²
    0.00306795999999998×0.00142962334683661×6371000²
    0.00306795999999998×0.00142962334683661×40589641000000     		ar = 121770231.14049m²