Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8834 / 5499
↖ ↑ ↗
← N 50.805935°
E 14.106446°		 ← 1 543.99 m → N 50.805935°
E 14.128418°		 →
↑
1 544.20 m
↓
↑
1 544.20 m
↓
N 50.792047°
E 14.106446°		 ← 1 544.45 m →
2 384 584 m²		 N 50.792047°
E 14.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539215087890625 y=0.335662841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539215087890625 × 214)
    floor (0.539215087890625 × 16384)
    floor (8834.5)     		tx = 8834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335662841796875 × 214)
    floor (0.335662841796875 × 16384)
    floor (5499.5)     		ty = 5499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8834 / 5499 ti = "14/8834/5499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8834/5499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8834 ÷ 214
    8834 ÷ 16384     		x = 0.5391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5499 ÷ 214
    5499 ÷ 16384     		y = 0.33563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5391845703125 × 2 - 1) × π
    0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33563232421875 × 2 - 1) × π
    0.3287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03275256541449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24620392} λ = 0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03275256541449))-π/2
    2×atan(2.8087865726828)-π/2
    2×1.22876358365584-π/2
    2.45752716731169-1.57079632675     		φ = 0.88673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.805935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8834 KachelY 5499 0.24620392 0.88673084 14.106446 50.805935
    Oben rechts KachelX + 1 8835 KachelY 5499 0.24658741 0.88673084 14.128418 50.805935
    Unten links KachelX 8834 KachelY + 1 5500 0.24620392 0.88648846 14.106446 50.792047
    Unten rechts KachelX + 1 8835 KachelY + 1 5500 0.24658741 0.88648846 14.128418 50.792047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88673084-0.88648846) × R
    0.000242379999999986 × 6371000     		dl = 1544.20297999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88673084-0.88648846) × R
    0.000242379999999986 × 6371000     		dr = 1544.20297999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24620392-0.24658741) × cos(0.88673084) × R
    0.000383490000000014 × 0.631949030534559 × 6371000     		do = 1543.98721792825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24620392-0.24658741) × cos(0.88648846) × R
    0.000383490000000014 × 0.632136858881542 × 6371000     		du = 1544.44612292358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88673084)-sin(0.88648846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631949030534559-0.632136858881542)×R²
    abs(0.24658741-0.24620392)×0.000187828346983054×R²
    0.000383490000000014×0.000187828346983054×6371000²
    0.000383490000000014×0.000187828346983054×40589641000000     		ar = 2384583.9959114m²