Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 883 / 1421
↖ ↑ ↗
← S 57.040730°
W 24.785156°		 ← 10.634 km → S 57.040730°
W 24.609375°		 →
↑
10.620 km
↓
↑
10.620 km
↓
S 57.136239°
W 24.785156°		 ← 10.606 km →
112.788 km²		 S 57.136239°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431396484375 y=0.694091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431396484375 × 211)
    floor (0.431396484375 × 2048)
    floor (883.5)     		tx = 883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.694091796875 × 211)
    floor (0.694091796875 × 2048)
    floor (1421.5)     		ty = 1421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 883 / 1421 ti = "11/883/1421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/883/1421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 883 ÷ 211
    883 ÷ 2048     		x = 0.43115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1421 ÷ 211
    1421 ÷ 2048     		y = 0.69384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69384765625 × 2 - 1) × π
    -0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43258258} λ = -0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21798074554639))-π/2
    2×atan(0.295826914042791)-π/2
    2×0.287623891696933-π/2
    0.575247783393866-1.57079632675     		φ = -0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 883 KachelY 1421 -0.43258258 -0.99554854 -24.785156 -57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 884 KachelY 1421 -0.42951462 -0.99554854 -24.609375 -57.040730
    Unten links KachelX 883 KachelY + 1 1422 -0.43258258 -0.99721550 -24.785156 -57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 884 KachelY + 1 1422 -0.42951462 -0.99721550 -24.609375 -57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99554854--0.99721550) × R
    0.00166696 × 6371000     		dl = 10620.20216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99554854--0.99721550) × R
    0.00166696 × 6371000     		dr = 10620.20216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43258258--0.42951462) × cos(-0.99554854) × R
    0.00306795999999998 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 10633.8443005371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43258258--0.42951462) × cos(-0.99721550) × R
    0.00306795999999998 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 10606.4910683893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99554854)-sin(-0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.542643284198053)×R²
    abs(-0.42951462--0.43258258)×0.00139943055911629×R²
    0.00306795999999998×0.00139943055911629×6371000²
    0.00306795999999998×0.00139943055911629×40589641000000     		ar = 112788353.899704m²