Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8828 / 7802
↖ ↑ ↗
← N  8.537566°
E 13.974610°		 ← 2 416.14 m → N  8.537566°
E 13.996582°		 →
↑
2 416.27 m
↓
↑
2 416.27 m
↓
N  8.515836°
E 13.974610°		 ← 2 416.28 m →
5 838 204 m²		 N  8.515836°
E 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538848876953125 y=0.476226806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538848876953125 × 214)
    floor (0.538848876953125 × 16384)
    floor (8828.5)     		tx = 8828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476226806640625 × 214)
    floor (0.476226806640625 × 16384)
    floor (7802.5)     		ty = 7802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8828 / 7802 ti = "14/8828/7802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8828/7802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8828 ÷ 214
    8828 ÷ 16384     		x = 0.538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7802 ÷ 214
    7802 ÷ 16384     		y = 0.4761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538818359375 × 2 - 1) × π
    0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24390295} λ = 0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.149563126814575))-π/2
    2×atan(1.16132677935837)-π/2
    2×0.859902476133192-π/2
    1.71980495226638-1.57079632675     		φ = 0.14900863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14900863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.537566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8828 KachelY 7802 0.24390295 0.14900863 13.974610 8.537566
    Oben rechts KachelX + 1 8829 KachelY 7802 0.24428644 0.14900863 13.996582 8.537566
    Unten links KachelX 8828 KachelY + 1 7803 0.24390295 0.14862937 13.974610 8.515836
    Unten rechts KachelX + 1 8829 KachelY + 1 7803 0.24428644 0.14862937 13.996582 8.515836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14900863-0.14862937) × R
    0.000379259999999992 × 6371000     		dl = 2416.26545999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14900863-0.14862937) × R
    0.000379259999999992 × 6371000     		dr = 2416.26545999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24390295-0.24428644) × cos(0.14900863) × R
    0.000383489999999986 × 0.98891874050394 × 6371000     		do = 2416.14089290731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24390295-0.24428644) × cos(0.14862937) × R
    0.000383489999999986 × 0.988974973493746 × 6371000     		du = 2416.27828217969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14900863)-sin(0.14862937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98891874050394-0.988974973493746)×R²
    abs(0.24428644-0.24390295)×5.62329898055047e-05×R²
    0.000383489999999986×5.62329898055047e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.62329898055047e-05×40589641000000     		ar = 5838203.84048155m²