Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 882 / 1402
↖ ↑ ↗
← S 55.178868°
W 24.960937°		 ← 11.161 km → S 55.178868°
W 24.785156°		 →
↑
11.147 km
↓
↑
11.147 km
↓
S 55.279115°
W 24.960937°		 ← 11.133 km →
124.256 km²		 S 55.279115°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430908203125 y=0.684814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430908203125 × 211)
    floor (0.430908203125 × 2048)
    floor (882.5)     		tx = 882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684814453125 × 211)
    floor (0.684814453125 × 2048)
    floor (1402.5)     		ty = 1402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 882 / 1402 ti = "11/882/1402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/882/1402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 882 ÷ 211
    882 ÷ 2048     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1402 ÷ 211
    1402 ÷ 2048     		y = 0.6845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6845703125 × 2 - 1) × π
    -0.369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1596894756084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1596894756084))-π/2
    2×atan(0.313583541103779)-π/2
    2×0.303871704283662-π/2
    0.607743408567323-1.57079632675     		φ = -0.96305292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96305292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.178868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 882 KachelY 1402 -0.43565054 -0.96305292 -24.960937 -55.178868
    Oben rechts KachelX + 1 883 KachelY 1402 -0.43258258 -0.96305292 -24.785156 -55.178868
    Unten links KachelX 882 KachelY + 1 1403 -0.43565054 -0.96480257 -24.960937 -55.279115
    Unten rechts KachelX + 1 883 KachelY + 1 1403 -0.43258258 -0.96480257 -24.785156 -55.279115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96305292--0.96480257) × R
    0.00174965000000005 × 6371000     		dl = 11147.0201500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96305292--0.96480257) × R
    0.00174965000000005 × 6371000     		dr = 11147.0201500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43258258) × cos(-0.96305292) × R
    0.00306795999999998 × 0.57101639094169 × 6371000     		do = 11161.0710512663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43258258) × cos(-0.96480257) × R
    0.00306795999999998 × 0.569579162331506 × 6371000     		du = 11132.9790194268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96305292)-sin(-0.96480257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57101639094169-0.569579162331506)×R²
    abs(-0.43258258--0.43565054)×0.00143722861018436×R²
    0.00306795999999998×0.00143722861018436×6371000²
    0.00306795999999998×0.00143722861018436×40589641000000     		ar = 124256144.380089m²