Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8794 / 5482
↖ ↑ ↗
← N 51.041394°
E 13.227539°		 ← 1 536.19 m → N 51.041394°
E 13.249512°		 →
↑
1 536.43 m
↓
↑
1 536.43 m
↓
N 51.027577°
E 13.227539°		 ← 1 536.65 m →
2 360 605 m²		 N 51.027577°
E 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536773681640625 y=0.334625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536773681640625 × 214)
    floor (0.536773681640625 × 16384)
    floor (8794.5)     		tx = 8794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334625244140625 × 214)
    floor (0.334625244140625 × 16384)
    floor (5482.5)     		ty = 5482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8794 / 5482 ti = "14/8794/5482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8794/5482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8794 ÷ 214
    8794 ÷ 16384     		x = 0.5367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5482 ÷ 214
    5482 ÷ 16384     		y = 0.3345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5367431640625 × 2 - 1) × π
    0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3345947265625 × 2 - 1) × π
    0.330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23086411} λ = 0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03927198376282))-π/2
    2×atan(2.82715804799801)-π/2
    2×1.23081835255293-π/2
    2.46163670510587-1.57079632675     		φ = 0.89084038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89084038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.041394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8794 KachelY 5482 0.23086411 0.89084038 13.227539 51.041394
    Oben rechts KachelX + 1 8795 KachelY 5482 0.23124760 0.89084038 13.249512 51.041394
    Unten links KachelX 8794 KachelY + 1 5483 0.23086411 0.89059922 13.227539 51.027577
    Unten rechts KachelX + 1 8795 KachelY + 1 5483 0.23124760 0.89059922 13.249512 51.027577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89084038-0.89059922) × R
    0.000241159999999963 × 6371000     		dl = 1536.43035999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89084038-0.89059922) × R
    0.000241159999999963 × 6371000     		dr = 1536.43035999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23086411-0.23124760) × cos(0.89084038) × R
    0.000383489999999986 × 0.628758768837873 × 6371000     		do = 1536.19272336683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23086411-0.23124760) × cos(0.89059922) × R
    0.000383489999999986 × 0.628946276669221 × 6371000     		du = 1536.65084527362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89084038)-sin(0.89059922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628758768837873-0.628946276669221)×R²
    abs(0.23124760-0.23086411)×0.000187507831348355×R²
    0.000383489999999986×0.000187507831348355×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187507831348355×40589641000000     		ar = 2360605.08663486m²