Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8779 / 5357
↖ ↑ ↗
← N 52.736291°
E 12.897949°		 ← 1 479.37 m → N 52.736291°
E 12.919922°		 →
↑
1 479.54 m
↓
↑
1 479.54 m
↓
N 52.722986°
E 12.897949°		 ← 1 479.82 m →
2 189 113 m²		 N 52.722986°
E 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535858154296875 y=0.326995849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535858154296875 × 214)
    floor (0.535858154296875 × 16384)
    floor (8779.5)     		tx = 8779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326995849609375 × 214)
    floor (0.326995849609375 × 16384)
    floor (5357.5)     		ty = 5357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8779 / 5357 ti = "14/8779/5357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8779/5357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8779 ÷ 214
    8779 ÷ 16384     		x = 0.53582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5357 ÷ 214
    5357 ÷ 16384     		y = 0.32696533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53582763671875 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32696533203125 × 2 - 1) × π
    0.3460693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08720888338287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22511168} λ = 0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08720888338287))-π/2
    2×atan(2.96598410129533)-π/2
    2×1.24560912573187-π/2
    2.49121825146374-1.57079632675     		φ = 0.92042192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92042192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.736291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8779 KachelY 5357 0.22511168 0.92042192 12.897949 52.736291
    Oben rechts KachelX + 1 8780 KachelY 5357 0.22549518 0.92042192 12.919922 52.736291
    Unten links KachelX 8779 KachelY + 1 5358 0.22511168 0.92018969 12.897949 52.722986
    Unten rechts KachelX + 1 8780 KachelY + 1 5358 0.22549518 0.92018969 12.919922 52.722986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92042192-0.92018969) × R
    0.000232230000000055 × 6371000     		dl = 1479.53733000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92042192-0.92018969) × R
    0.000232230000000055 × 6371000     		dr = 1479.53733000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(0.92042192) × R
    0.000383499999999981 × 0.60548442249491 × 6371000     		do = 1479.36707156666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(0.92018969) × R
    0.000383499999999981 × 0.605669228073663 × 6371000     		du = 1479.8186030639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92042192)-sin(0.92018969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60548442249491-0.605669228073663)×R²
    abs(0.22549518-0.22511168)×0.000184805578753666×R²
    0.000383499999999981×0.000184805578753666×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184805578753666×40589641000000     		ar = 2189112.84584712m²