Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8779 / 5345
↖ ↑ ↗
← N 52.895649°
E 12.897949°		 ← 1 473.95 m → N 52.895649°
E 12.919922°		 →
↑
1 474.19 m
↓
↑
1 474.19 m
↓
N 52.882391°
E 12.897949°		 ← 1 474.40 m →
2 173 213 m²		 N 52.882391°
E 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535858154296875 y=0.326263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535858154296875 × 214)
    floor (0.535858154296875 × 16384)
    floor (8779.5)     		tx = 8779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326263427734375 × 214)
    floor (0.326263427734375 × 16384)
    floor (5345.5)     		ty = 5345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8779 / 5345 ti = "14/8779/5345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8779/5345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8779 ÷ 214
    8779 ÷ 16384     		x = 0.53582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5345 ÷ 214
    5345 ÷ 16384     		y = 0.32623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53582763671875 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32623291015625 × 2 - 1) × π
    0.3475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0918108257464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22511168} λ = 0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0918108257464))-π/2
    2×atan(2.97966484403132)-π/2
    2×1.24699977795404-π/2
    2.49399955590809-1.57079632675     		φ = 0.92320323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92320323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.895649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8779 KachelY 5345 0.22511168 0.92320323 12.897949 52.895649
    Oben rechts KachelX + 1 8780 KachelY 5345 0.22549518 0.92320323 12.919922 52.895649
    Unten links KachelX 8779 KachelY + 1 5346 0.22511168 0.92297184 12.897949 52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 8780 KachelY + 1 5346 0.22549518 0.92297184 12.919922 52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92320323-0.92297184) × R
    0.000231390000000053 × 6371000     		dl = 1474.18569000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92320323-0.92297184) × R
    0.000231390000000053 × 6371000     		dr = 1474.18569000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(0.92320323) × R
    0.000383499999999981 × 0.603268557962866 × 6371000     		do = 1473.9530973966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22511168-0.22549518) × cos(0.92297184) × R
    0.000383499999999981 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 1474.4039462771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92320323)-sin(0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603268557962866-0.603453084156052)×R²
    abs(0.22549518-0.22511168)×0.000184526193186096×R²
    0.000383499999999981×0.000184526193186096×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184526193186096×40589641000000     		ar = 2173212.8910933m²