Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8741 / 5365
↖ ↑ ↗
← N 52.629729°
E 12.062988°		 ← 1 482.98 m → N 52.629729°
E 12.084961°		 →
↑
1 483.17 m
↓
↑
1 483.17 m
↓
N 52.616390°
E 12.062988°		 ← 1 483.43 m →
2 199 846 m²		 N 52.616390°
E 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533538818359375 y=0.327484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533538818359375 × 214)
    floor (0.533538818359375 × 16384)
    floor (8741.5)     		tx = 8741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327484130859375 × 214)
    floor (0.327484130859375 × 16384)
    floor (5365.5)     		ty = 5365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8741 / 5365 ti = "14/8741/5365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8741/5365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8741 ÷ 214
    8741 ÷ 16384     		x = 0.53350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5365 ÷ 214
    5365 ÷ 16384     		y = 0.32745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53350830078125 × 2 - 1) × π
    0.0670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21053886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32745361328125 × 2 - 1) × π
    0.3450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08414092180719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21053886} λ = 0.21053886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08414092180719))-π/2
    2×atan(2.95689852027162)-π/2
    2×1.24467918997017-π/2
    2.48935837994035-1.57079632675     		φ = 0.91856205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21053886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91856205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.629729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8741 KachelY 5365 0.21053886 0.91856205 12.062988 52.629729
    Oben rechts KachelX + 1 8742 KachelY 5365 0.21092236 0.91856205 12.084961 52.629729
    Unten links KachelX 8741 KachelY + 1 5366 0.21053886 0.91832925 12.062988 52.616390
    Unten rechts KachelX + 1 8742 KachelY + 1 5366 0.21092236 0.91832925 12.084961 52.616390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91856205-0.91832925) × R
    0.000232800000000033 × 6371000     		dl = 1483.16880000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91856205-0.91832925) × R
    0.000232800000000033 × 6371000     		dr = 1483.16880000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21053886-0.21092236) × cos(0.91856205) × R
    0.000383500000000009 × 0.606963565271618 × 6371000     		do = 1482.98102931153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21053886-0.21092236) × cos(0.91832925) × R
    0.000383500000000009 × 0.607148561887045 × 6371000     		du = 1483.43302756457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91856205)-sin(0.91832925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606963565271618-0.607148561887045)×R²
    abs(0.21092236-0.21053886)×0.00018499661542648×R²
    0.000383500000000009×0.00018499661542648×6371000²
    0.000383500000000009×0.00018499661542648×40589641000000     		ar = 2199846.39845543m²