Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8683 / 5340
↖ ↑ ↗
← N 52.961875°
E 10.788574°		 ← 1 471.70 m → N 52.961875°
E 10.810547°		 →
↑
1 471.89 m
↓
↑
1 471.89 m
↓
N 52.948638°
E 10.788574°		 ← 1 472.15 m →
2 166 515 m²		 N 52.948638°
E 10.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529998779296875 y=0.325958251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529998779296875 × 214)
    floor (0.529998779296875 × 16384)
    floor (8683.5)     		tx = 8683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325958251953125 × 214)
    floor (0.325958251953125 × 16384)
    floor (5340.5)     		ty = 5340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8683 / 5340 ti = "14/8683/5340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8683/5340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8683 ÷ 214
    8683 ÷ 16384     		x = 0.52996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5340 ÷ 214
    5340 ÷ 16384     		y = 0.325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52996826171875 × 2 - 1) × π
    0.0599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18829614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325927734375 × 2 - 1) × π
    0.34814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0937283017312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18829614} λ = 0.18829614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0937283017312))-π/2
    2×atan(2.98538376100326)-π/2
    2×1.2475777122934-π/2
    2.49515542458681-1.57079632675     		φ = 0.92435910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18829614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92435910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.961875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8683 KachelY 5340 0.18829614 0.92435910 10.788574 52.961875
    Oben rechts KachelX + 1 8684 KachelY 5340 0.18867964 0.92435910 10.810547 52.961875
    Unten links KachelX 8683 KachelY + 1 5341 0.18829614 0.92412807 10.788574 52.948638
    Unten rechts KachelX + 1 8684 KachelY + 1 5341 0.18867964 0.92412807 10.810547 52.948638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92435910-0.92412807) × R
    0.000231030000000021 × 6371000     		dl = 1471.89213000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92435910-0.92412807) × R
    0.000231030000000021 × 6371000     		dr = 1471.89213000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18829614-0.18867964) × cos(0.92435910) × R
    0.000383500000000009 × 0.602346304791586 × 6371000     		do = 1471.69977605176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18829614-0.18867964) × cos(0.92412807) × R
    0.000383500000000009 × 0.602530704919987 × 6371000     		du = 1472.15031692088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92435910)-sin(0.92412807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602346304791586-0.602530704919987)×R²
    abs(0.18867964-0.18829614)×0.000184400128400264×R²
    0.000383500000000009×0.000184400128400264×6371000²
    0.000383500000000009×0.000184400128400264×40589641000000     		ar = 2166514.90151066m²