Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 868 / 1012
↖ ↑ ↗
← S 84.673512°
E125.156250°		 ← 3 628.95 m → S 84.673512°
E125.507813°		 →
↑
3 617.90 m
↓
↑
3 617.90 m
↓
S 84.706049°
E125.156250°		 ← 3 606.84 m →
13 089 180 m²		 S 84.706049°
E125.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.84814453125 y=0.98876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.84814453125 × 210)
    floor (0.84814453125 × 1024)
    floor (868.5)     		tx = 868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.98876953125 × 210)
    floor (0.98876953125 × 1024)
    floor (1012.5)     		ty = 1012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 868 / 1012 ti = "10/868/1012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/868/1012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 868 ÷ 210
    868 ÷ 1024     		x = 0.84765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1012 ÷ 210
    1012 ÷ 1024     		y = 0.98828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84765625 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.18438864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98828125 × 2 - 1) × π
    -0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = -3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.18438864} λ = 2.18438864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.06796157568359))-π/2
    2×atan(0.0465158773778337)-π/2
    2×0.0464823716478539-π/2
    0.0929647432957078-1.57079632675     		φ = -1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.18438864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 125.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 868 KachelY 1012 2.18438864 -1.47783158 125.156250 -84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 869 KachelY 1012 2.19052457 -1.47783158 125.507813 -84.673512
    Unten links KachelX 868 KachelY + 1 1013 2.18438864 -1.47839945 125.156250 -84.706049
    Unten rechts KachelX + 1 869 KachelY + 1 1013 2.19052457 -1.47839945 125.507813 -84.706049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47783158--1.47839945) × R
    0.000567870000000026 × 6371000     		dl = 3617.89977000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47783158--1.47839945) × R
    0.000567870000000026 × 6371000     		dr = 3617.89977000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.18438864-2.19052457) × cos(-1.47783158) × R
    0.00613593000000012 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 3628.94637780304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.18438864-2.19052457) × cos(-1.47839945) × R
    0.00613593000000012 × 0.0922654647300193 × 6371000     		du = 3606.8424726486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47783158)-sin(-1.47839945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.0922654647300193)×R²
    abs(2.19052457-2.18438864)×0.000565432811909031×R²
    0.00613593000000012×0.000565432811909031×6371000²
    0.00613593000000012×0.000565432811909031×40589641000000     		ar = 13089179.7606722m²