Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8674 / 5358
↖ ↑ ↗
← N 52.722986°
E 10.590820°		 ← 1 479.82 m → N 52.722986°
E 10.612793°		 →
↑
1 480.05 m
↓
↑
1 480.05 m
↓
N 52.709675°
E 10.590820°		 ← 1 480.27 m →
2 190 535 m²		 N 52.709675°
E 10.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529449462890625 y=0.327056884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529449462890625 × 214)
    floor (0.529449462890625 × 16384)
    floor (8674.5)     		tx = 8674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327056884765625 × 214)
    floor (0.327056884765625 × 16384)
    floor (5358.5)     		ty = 5358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8674 / 5358 ti = "14/8674/5358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8674/5358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8674 ÷ 214
    8674 ÷ 16384     		x = 0.5294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5358 ÷ 214
    5358 ÷ 16384     		y = 0.3270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3270263671875 × 2 - 1) × π
    0.345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08682538818591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18484468} λ = 0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08682538818591))-π/2
    2×atan(2.96484687871186)-π/2
    2×1.24549300783058-π/2
    2.49098601566115-1.57079632675     		φ = 0.92018969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92018969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.722986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8674 KachelY 5358 0.18484468 0.92018969 10.590820 52.722986
    Oben rechts KachelX + 1 8675 KachelY 5358 0.18522818 0.92018969 10.612793 52.722986
    Unten links KachelX 8674 KachelY + 1 5359 0.18484468 0.91995738 10.590820 52.709675
    Unten rechts KachelX + 1 8675 KachelY + 1 5359 0.18522818 0.91995738 10.612793 52.709675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92018969-0.91995738) × R
    0.000232309999999902 × 6371000     		dl = 1480.04700999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92018969-0.91995738) × R
    0.000232309999999902 × 6371000     		dr = 1480.04700999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18484468-0.18522818) × cos(0.92018969) × R
    0.000383499999999981 × 0.605669228073663 × 6371000     		do = 1479.8186030639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18484468-0.18522818) × cos(0.91995738) × R
    0.000383499999999981 × 0.605854064634273 × 6371000     		du = 1480.27021025846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92018969)-sin(0.91995738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605669228073663-0.605854064634273)×R²
    abs(0.18522818-0.18484468)×0.000184836560609969×R²
    0.000383499999999981×0.000184836560609969×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184836560609969×40589641000000     		ar = 2190535.30859801m²