Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8670 / 5350
↖ ↑ ↗
← N 52.829321°
E 10.502929°		 ← 1 476.21 m → N 52.829321°
E 10.524902°		 →
↑
1 476.42 m
↓
↑
1 476.42 m
↓
N 52.816043°
E 10.502929°		 ← 1 476.66 m →
2 179 829 m²		 N 52.816043°
E 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529205322265625 y=0.326568603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529205322265625 × 214)
    floor (0.529205322265625 × 16384)
    floor (8670.5)     		tx = 8670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326568603515625 × 214)
    floor (0.326568603515625 × 16384)
    floor (5350.5)     		ty = 5350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8670 / 5350 ti = "14/8670/5350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8670/5350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8670 ÷ 214
    8670 ÷ 16384     		x = 0.5291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5350 ÷ 214
    5350 ÷ 16384     		y = 0.3265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5291748046875 × 2 - 1) × π
    0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3265380859375 × 2 - 1) × π
    0.346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0898933497616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18331070} λ = 0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0898933497616))-π/2
    2×atan(2.97395688243865)-π/2
    2×1.24642095912687-π/2
    2.49284191825374-1.57079632675     		φ = 0.92204559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92204559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.829321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8670 KachelY 5350 0.18331070 0.92204559 10.502929 52.829321
    Oben rechts KachelX + 1 8671 KachelY 5350 0.18369420 0.92204559 10.524902 52.829321
    Unten links KachelX 8670 KachelY + 1 5351 0.18331070 0.92181385 10.502929 52.816043
    Unten rechts KachelX + 1 8671 KachelY + 1 5351 0.18369420 0.92181385 10.524902 52.816043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92204559-0.92181385) × R
    0.000231739999999925 × 6371000     		dl = 1476.41553999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92204559-0.92181385) × R
    0.000231739999999925 × 6371000     		dr = 1476.41553999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18331070-0.18369420) × cos(0.92204559) × R
    0.000383500000000009 × 0.604191415552408 × 6371000     		do = 1476.2078955038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18331070-0.18369420) × cos(0.92181385) × R
    0.000383500000000009 × 0.604376058846691 × 6371000     		du = 1476.65903049489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92204559)-sin(0.92181385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604191415552408-0.604376058846691)×R²
    abs(0.18369420-0.18331070)×0.000184643294283471×R²
    0.000383500000000009×0.000184643294283471×6371000²
    0.000383500000000009×0.000184643294283471×40589641000000     		ar = 2179829.31830135m²