Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8668 / 5348
↖ ↑ ↗
← N 52.855864°
E 10.458984°		 ← 1 475.31 m → N 52.855864°
E 10.480957°		 →
↑
1 475.52 m
↓
↑
1 475.52 m
↓
N 52.842595°
E 10.458984°		 ← 1 475.76 m →
2 177 181 m²		 N 52.842595°
E 10.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529083251953125 y=0.326446533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529083251953125 × 214)
    floor (0.529083251953125 × 16384)
    floor (8668.5)     		tx = 8668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326446533203125 × 214)
    floor (0.326446533203125 × 16384)
    floor (5348.5)     		ty = 5348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8668 / 5348 ti = "14/8668/5348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8668/5348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8668 ÷ 214
    8668 ÷ 16384     		x = 0.529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5348 ÷ 214
    5348 ÷ 16384     		y = 0.326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326416015625 × 2 - 1) × π
    0.34716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09066034015552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18254371} λ = 0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09066034015552))-π/2
    2×atan(2.97623875377425)-π/2
    2×1.24665259283328-π/2
    2.49330518566655-1.57079632675     		φ = 0.92250886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92250886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.855864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8668 KachelY 5348 0.18254371 0.92250886 10.458984 52.855864
    Oben rechts KachelX + 1 8669 KachelY 5348 0.18292721 0.92250886 10.480957 52.855864
    Unten links KachelX 8668 KachelY + 1 5349 0.18254371 0.92227726 10.458984 52.842595
    Unten rechts KachelX + 1 8669 KachelY + 1 5349 0.18292721 0.92227726 10.480957 52.842595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92250886-0.92227726) × R
    0.000231599999999998 × 6371000     		dl = 1475.52359999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92250886-0.92227726) × R
    0.000231599999999998 × 6371000     		dr = 1475.52359999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18254371-0.18292721) × cos(0.92250886) × R
    0.000383500000000009 × 0.603822199027319 × 6371000     		do = 1475.3057967062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18254371-0.18292721) × cos(0.92227726) × R
    0.000383500000000009 × 0.604006795599517 × 6371000     		du = 1475.75681754223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92250886)-sin(0.92227726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603822199027319-0.604006795599517)×R²
    abs(0.18292721-0.18254371)×0.00018459657219827×R²
    0.000383500000000009×0.00018459657219827×6371000²
    0.000383500000000009×0.00018459657219827×40589641000000     		ar = 2177181.27593239m²