Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86592 / 47680
↖ ↑ ↗
← N 43.961191°
E 57.832031°		 ← 219.85 m → N 43.961191°
E 57.834778°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
N 43.959213°
E 57.832031°		 ← 219.86 m →
48 337 m²		 N 43.959213°
E 57.834778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660648345947266 y=0.363773345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660648345947266 × 217)
    floor (0.660648345947266 × 131072)
    floor (86592.5)     		tx = 86592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363773345947266 × 217)
    floor (0.363773345947266 × 131072)
    floor (47680.5)     		ty = 47680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86592 / 47680 ti = "17/86592/47680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86592/47680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86592 ÷ 217
    86592 ÷ 131072     		x = 0.66064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47680 ÷ 217
    47680 ÷ 131072     		y = 0.36376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66064453125 × 2 - 1) × π
    0.3212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.00935936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00935936} λ = 1.00935936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855961279615723))-π/2
    2×atan(2.35363579558782)-π/2
    2×1.16903192326168-π/2
    2.33806384652335-1.57079632675     		φ = 0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00935936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86592 KachelY 47680 1.00935936 0.76726752 57.832031 43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 86593 KachelY 47680 1.00940730 0.76726752 57.834778 43.961191
    Unten links KachelX 86592 KachelY + 1 47681 1.00935936 0.76723301 57.832031 43.959213
    Unten rechts KachelX + 1 86593 KachelY + 1 47681 1.00940730 0.76723301 57.834778 43.959213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76726752-0.76723301) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dl = 219.863209999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76726752-0.76723301) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dr = 219.863209999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00935936-1.00940730) × cos(0.76726752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 219.848551614671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00935936-1.00940730) × cos(0.76723301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719834118152805 × 6371000     		du = 219.855868213924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76726752)-sin(0.76723301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.719834118152805)×R²
    abs(1.00940730-1.00935936)×2.39554113959928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39554113959928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39554113959928e-05×40589641000000     		ar = 48337.4126022503m²