Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86524 / 47612
↖ ↑ ↗
← N 44.095476°
E 57.645264°		 ← 219.35 m → N 44.095476°
E 57.648010°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
N 44.093503°
E 57.645264°		 ← 219.36 m →
48 116 m²		 N 44.093503°
E 57.648010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660129547119141 y=0.363254547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660129547119141 × 217)
    floor (0.660129547119141 × 131072)
    floor (86524.5)     		tx = 86524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363254547119141 × 217)
    floor (0.363254547119141 × 131072)
    floor (47612.5)     		ty = 47612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86524 / 47612 ti = "17/86524/47612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86524/47612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86524 ÷ 217
    86524 ÷ 131072     		x = 0.660125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47612 ÷ 217
    47612 ÷ 131072     		y = 0.363250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.660125732421875 × 2 - 1) × π
    0.32025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00609965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363250732421875 × 2 - 1) × π
    0.27349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859220988789887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00609965} λ = 1.00609965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859220988789887))-π/2
    2×atan(2.36132048189997)-π/2
    2×1.17020378174485-π/2
    2.3404075634897-1.57079632675     		φ = 0.76961124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00609965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.645264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76961124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.095476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86524 KachelY 47612 1.00609965 0.76961124 57.645264 44.095476
    Oben rechts KachelX + 1 86525 KachelY 47612 1.00614759 0.76961124 57.648010 44.095476
    Unten links KachelX 86524 KachelY + 1 47613 1.00609965 0.76957681 57.645264 44.093503
    Unten rechts KachelX + 1 86525 KachelY + 1 47613 1.00614759 0.76957681 57.648010 44.093503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76961124-0.76957681) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76961124-0.76957681) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00609965-1.00614759) × cos(0.76961124) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.718181244889019 × 6371000     		do = 219.351038175222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00609965-1.00614759) × cos(0.76957681) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.718205202788555 × 6371000     		du = 219.358355534417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76961124)-sin(0.76957681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718181244889019-0.718205202788555)×R²
    abs(1.00614759-1.00609965)×2.39578995361311e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.39578995361311e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.39578995361311e-05×40589641000000     		ar = 48116.2270821469m²