Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8650 / 5329
↖ ↑ ↗
← N 53.107217°
E 10.063477°		 ← 1 466.75 m → N 53.107217°
E 10.085449°		 →
↑
1 466.99 m
↓
↑
1 466.99 m
↓
N 53.094024°
E 10.063477°		 ← 1 467.20 m →
2 152 029 m²		 N 53.094024°
E 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527984619140625 y=0.325286865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527984619140625 × 214)
    floor (0.527984619140625 × 16384)
    floor (8650.5)     		tx = 8650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325286865234375 × 214)
    floor (0.325286865234375 × 16384)
    floor (5329.5)     		ty = 5329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8650 / 5329 ti = "14/8650/5329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8650/5329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8650 ÷ 214
    8650 ÷ 16384     		x = 0.5279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5329 ÷ 214
    5329 ÷ 16384     		y = 0.32525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5279541015625 × 2 - 1) × π
    0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32525634765625 × 2 - 1) × π
    0.3494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09794674889777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17564080} λ = 0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09794674889777))-π/2
    2×atan(2.99800404495637)-π/2
    2×1.24884605730984-π/2
    2.49769211461969-1.57079632675     		φ = 0.92689579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92689579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.107217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8650 KachelY 5329 0.17564080 0.92689579 10.063477 53.107217
    Oben rechts KachelX + 1 8651 KachelY 5329 0.17602430 0.92689579 10.085449 53.107217
    Unten links KachelX 8650 KachelY + 1 5330 0.17564080 0.92666553 10.063477 53.094024
    Unten rechts KachelX + 1 8651 KachelY + 1 5330 0.17602430 0.92666553 10.085449 53.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92689579-0.92666553) × R
    0.000230260000000038 × 6371000     		dl = 1466.98646000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92689579-0.92666553) × R
    0.000230260000000038 × 6371000     		dr = 1466.98646000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17564080-0.17602430) × cos(0.92689579) × R
    0.000383499999999981 × 0.600319494529975 × 6371000     		do = 1466.74771411588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17564080-0.17602430) × cos(0.92666553) × R
    0.000383499999999981 × 0.60050363141591 × 6371000     		du = 1467.19761181034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92689579)-sin(0.92666553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600319494529975-0.60050363141591)×R²
    abs(0.17602430-0.17564080)×0.000184136885934771×R²
    0.000383499999999981×0.000184136885934771×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184136885934771×40589641000000     		ar = 2152029.04326647m²