Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8642 / 5349
↖ ↑ ↗
← N 52.842595°
E  9.887695°		 ← 1 475.72 m → N 52.842595°
E  9.909668°		 →
↑
1 475.97 m
↓
↑
1 475.97 m
↓
N 52.829321°
E  9.887695°		 ← 1 476.17 m →
2 178 448 m²		 N 52.829321°
E  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527496337890625 y=0.326507568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527496337890625 × 214)
    floor (0.527496337890625 × 16384)
    floor (8642.5)     		tx = 8642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326507568359375 × 214)
    floor (0.326507568359375 × 16384)
    floor (5349.5)     		ty = 5349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8642 / 5349 ti = "14/8642/5349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8642/5349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8642 ÷ 214
    8642 ÷ 16384     		x = 0.5274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5349 ÷ 214
    5349 ÷ 16384     		y = 0.32647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5274658203125 × 2 - 1) × π
    0.054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17257284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32647705078125 × 2 - 1) × π
    0.3470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09027684495856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17257284} λ = 0.17257284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09027684495856))-π/2
    2×atan(2.97509759933478)-π/2
    2×1.24653679367907-π/2
    2.49307358735814-1.57079632675     		φ = 0.92227726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17257284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92227726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.842595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8642 KachelY 5349 0.17257284 0.92227726 9.887695 52.842595
    Oben rechts KachelX + 1 8643 KachelY 5349 0.17295633 0.92227726 9.909668 52.842595
    Unten links KachelX 8642 KachelY + 1 5350 0.17257284 0.92204559 9.887695 52.829321
    Unten rechts KachelX + 1 8643 KachelY + 1 5350 0.17295633 0.92204559 9.909668 52.829321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92227726-0.92204559) × R
    0.000231670000000017 × 6371000     		dl = 1475.96957000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92227726-0.92204559) × R
    0.000231670000000017 × 6371000     		dr = 1475.96957000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17257284-0.17295633) × cos(0.92227726) × R
    0.000383489999999986 × 0.604006795599517 × 6371000     		do = 1475.7183362692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17257284-0.17295633) × cos(0.92204559) × R
    0.000383489999999986 × 0.604191415552408 × 6371000     		du = 1476.16940246863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92227726)-sin(0.92204559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604006795599517-0.604191415552408)×R²
    abs(0.17295633-0.17257284)×0.000184619952890208×R²
    0.000383489999999986×0.000184619952890208×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184619952890208×40589641000000     		ar = 2178448.24796103m²